首页 > 已知α为锐角，且tanα=2-1，函数f(x)=2xtan2α+sin(2α+π4)，数列{an}的首项a1=1，an+1=f（an）．（1）求函数f（x）的表达式；（2）在△ABC中，若∠A=2α，

已知α为锐角，且tanα=2-1，函数f(x)=2xtan2α+sin(2α+π4)，数列{an}的首项a1=1，an+1=f（an）．（1）求函数f（x）的表达式；（2）在△ABC中，若∠A=2α，

题目简介

已知α为锐角，且tanα=2-1，函数f(x)=2xtan2α+sin(2α+π4)，数列{an}的首项a1=1，an+1=f（an）．（1）求函数f（x）的表达式；（2）在△ABC中，若∠A=2α，

题目详情

已知α为锐角，且tanα=
2
-1，函数f(x)=2xtan2α+sin(2α+
π
4
)，数列{an}的首项a1=1，an+1=f（an）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）在△ABC中，若∠A=2α，∠C=
π
3
，BC=2，求△ABC的面积
（3）求数列{an}的前n项和Sn．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）tan2α=class="stub"2tanα
1-tan2α
=
2(
2
-1)
1-(
2
-1)2
=1
∴sin(2α+class="stub"π
4
)=sin2α•cosclass="stub"π
4
+cos2α•sinclass="stub"π
4
=
2
2
(sin2α+cos2α)
=
2
2
×
2sinα•cosα+(cos2α-sin2α )
sin2α+cos2α
（分子分母同除以cos2α）
=
2
2
×
2tanα+(1-tan2α)
1+tan2α
=1
∴f（x）=2x+1
（2）由（1）得∠A=2α=class="stub"π
4
，而∠C=class="stub"π
3
，
根据正弦定理易AB=
BC•sinclass="stub"π
3
sinclass="stub"π
4
=
2×
3
2
2
2
=
6
，
sinB=sin[π-(A+C)]=sin75°=
6
+
2
4

S△ABC=class="stub"1
2
×AB×BC×sinB=class="stub"1
2
×
6
×2×
6
+
2
4
=
3+
3
2

（3）∵an+1=2an+1，
∴an+1+1=2（an+1）
∵a1=1∴数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列．
可得an+1=2n，∴an=2n-1，
∴Sn=
2(1-2n)
1-2
-n=2n+1-n-2

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