首页 > 已知数列{an}的前n项和为sn，满足Sn=2an-2n（n∈N+），（1）求数列{an}的通项公式an；（2）若数列bn满足bn=log2（an+2），Tn为数列{bnan+2}的前n项和，求Tn（

已知数列{an}的前n项和为sn，满足Sn=2an-2n（n∈N+），（1）求数列{an}的通项公式an；（2）若数列bn满足bn=log2（an+2），Tn为数列{bnan+2}的前n项和，求Tn（

题目简介

已知数列{an}的前n项和为sn，满足Sn=2an-2n（n∈N+），（1）求数列{an}的通项公式an；（2）若数列bn满足bn=log2（an+2），Tn为数列{bnan+2}的前n项和，求Tn（

题目详情

已知数列{an}的前n项和为sn，满足Sn=2an-2n（n∈N+），
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）若数列bn满足bn=log2（an+2），Tn为数列{
bn
an+2
}的前n项和，求Tn
（3）（只理科作）接（2）中的Tn，求证：Tn≥
1
2
．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）当n∈N+时，Sn=2an-2n，
则当n≥2，n∈N+时，Sn-1=2an-1-2（n-1）
         ①-②，an=2an-2an-1-2，an=2an-1+2
∴an+2=2（an-1+2），
∴
an+2
an-1+2
=2，n=1时   S1=2a1-2，∴a1=2
∴{an+2}是a1+2=4为首项2为公比的等比数列，
∴an+2=4•2n-1=2n+1，
∴an=2n+1-2
（2）证明bn=log2（an+2）=log22n+1=n+1．
∴
bn
an+2
=class="stub"n+
2n+1
，
则Tn=class="stub"2
22
+class="stub"3
23
 +…+class="stub"n+1
2n+1
，
∴class="stub"1
2
Tn=class="stub"2
23
+class="stub"3
24
+…+class="stub"n
2n+1
+class="stub"n+1
2n+2
④
③-④，class="stub"1
2
Tn=class="stub"2
22
+class="stub"1
23
+class="stub"1
24
…+class="stub"1
2n+1
-class="stub"n+1
2n+2
=class="stub"1
4
+
class="stub"1
4
(1-class="stub"1
2n
)
1-class="stub"1
2
- class="stub"n+1
2n+1

=class="stub"1
4
+class="stub"1
2
-class="stub"1
2n+1
- class="stub"n+1
2n+2

=class="stub"3
4
-class="stub"n+3
2n+2

∴Tn=class="stub"3
2
-class="stub"n+3
2n+1
．
（3）n≥2时Tn-Tn-1=-class="stub"n+3
2n+1
+class="stub"n+2
2n
=class="stub"n+1
2n+1
＞0，
∴{Tn}为递增数列
∴Tn的最小值是T1=class="stub"1
2

∴Tn≥class="stub"1
2

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