已知数列{an}的前n项和为Sn，且有a1=2，3Sn=5an-an-1+3Sn-1（n≥2）．（1）若bn=（2n-1）an，求数列{bn}的前n项和Tn；（2）若cn=tn[lg（2t）n+lga

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已知数列{a_n} 的前n项和为S_n，且有a₁=2，3S_n=5a_n-a_n-1+3S_n-1（n≥2）．
（1）若b_n=（2n-1）a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（2）若c_n=tⁿ[lg（2t）ⁿ+lga_n+2]（0＜t＜1），且数列{c_n} 中的每一项总小于它后面的项，求实数t的取值范围．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵3Sn=5an-an-1+3Sn-1（n≥2），∴3an=5an-an-1，化为an=class="stub"1

an-1．
∴数列{an}是以2为首项，class="stub"1

为公比的等比数列，
∴an=2×(class="stub"1

)n-1=22-n．
∴bn=(2n-1)•22-n．
∴Tn=1×2+3×20+5×2-1+…+（2n-3）×23-n+（2n-1）•22-n，
2Tn=1×22+3×21+…+（2n-3）•24-n+（2n-1）•23-n．
∴Tn=4+2×21+2×20+…+2×23-n-（2n-1）•22-n．
=2×

4(1-class="stub"1

)

1-class="stub"1

-4-（2n-1）•22-n
=16(1-class="stub"1

)-4-（2n-1）22-n
=12-class="stub"16

-（2n-1）•22-n．
（2）cn=tn[lg(2t)n+lg2-n]=ntn[lg（2t）-1]．
∵cn＜cn+1，∴ntn[lg（2t）-1]＜（n+1）tn+1[lg（2t）-1]．（*）
∵0＜t＜1，∴0＜2t＜2，∴lg（2t）＜1．
∴（*）化为n＞（n+1）t，∴t＜class="stub"n

n+1

．
∵class="stub"n

n+1

随着n的增大而减小，
∴t＜class="stub"1

．
而0＜t＜1．
得到0＜t＜class="stub"1

．即为t的取值范围．

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已知数列{an}的前n项和为Sn，且有a1=2，3Sn=5an-an-1+3Sn-1（n≥2）．（1）若bn=（2n-1）an，求数列{bn}的前n项和Tn；（2）若cn=tn[lg（2t）n+lga

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