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（理科）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=aa-1(an-1)(a为常数且a≠0，a≠1，n∈N*)．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记bn=2Snan+1，若数列{bn}为等比数列，求a

题目简介

（理科）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=aa-1(an-1)(a为常数且a≠0，a≠1，n∈N*)．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记bn=2Snan+1，若数列{bn}为等比数列，求a

题目详情

（理科）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=
a
a-1
(an-1)(a为常数且a≠0，a≠1，n∈N*)．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记bn=
2Sn
an
+1，若数列{bn}为等比数列，求a的值；
（3）在满足（2）的条件下，记Cn=
1
1+an
+
1
1-an+1
，设数列{Cn}的前n项和为Tn，求证：Tn＞2n-
1
3
．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由（a-1）Sn=aan-a ①
当n≥2时，（a-1）Sn-1=aan-1-a ②
由①-②得n≥2时，（a-1）an=aan-aan-1即an=aan-1
又a1=a≠0
∴数列{an}是以a为首项，a为公比的等比数列
∴an=an
（2）bn=
2Sn
an
+1=class="stub"2a
1-a
(class="stub"1
a
)n+class="stub"3a-1
a-1

b1=3，b2=class="stub"3a+2
a
，b3=
3a2+2a+2
a2

又b22=b1•b3得（3a+2）2=3（3a2+2a+2）解得a=class="stub"1
3

又a=class="stub"1
3
时，bn=3n显然为等比数列
故a=class="stub"1
3

（3）由（2）得Cn=
3n
3n+1
+
3n+1
3n+1-1
=2-
2(3n-1)
(3n+1-1)(3n+1)

又
2(3n-1)
(3n+1-1)(3n+1)
＜
2(3n-1)
(3n+1-3)(3n+1)
=
class="stub"2
3
3n+1
＜
class="stub"2
3
3n

∴
n
i=1
2(3i-1)
(3i+1-1)(3i+1)
＜
n
i=1
class="stub"2
3
3i
=
class="stub"2
3
×class="stub"1
3
(1-class="stub"1
3n
)
1-class="stub"1
3
＜class="stub"1
3

∴Tn＞2n-class="stub"1
3

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