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已知数列{an}中，a1=2，an+1-an-2n-2=0（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=1an+1+1an+2+1an+3+…+1a2n，若对任意的正整数n，当m∈[-1

题目简介

已知数列{an}中，a1=2，an+1-an-2n-2=0（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=1an+1+1an+2+1an+3+…+1a2n，若对任意的正整数n，当m∈[-1

题目详情

已知数列{an}中，a1=2，an+1-an-2n-2=0（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=
1
an+1
+
1
an+2
+
1
an+3
+…+
1
a2n
，若对任意的正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式t2-2mt+
1
6
＞bn恒成立，求实数t的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由题意得an+1-an-2n-2=0，则an+1-an=2n+2，
∴an-an-1=2n（n≥2），
∴a2-a1=2×2，a3-a2=2×3，…，an-an-1=2n，
通过叠加得an=2（2+3+…+n）+a1
=2×
(n-1)(n+2)
2
+2=n（n+1）（n≥2）．
又∵a1=2符合此通项公式，
∴an=n（n+1），
（2）由（1）得，bn=class="stub"1
an+1
+class="stub"1
an+2
+class="stub"1
an+3
+…+class="stub"1
a2n

=class="stub"1
(n+1)(n+2)
+class="stub"1
(n+2)(n+3)
+class="stub"1
(n+3)(n+4)
+…+class="stub"1
2n(2n+1)

=（class="stub"1
n+1
-class="stub"1
n+2
）+（class="stub"1
n+2
-class="stub"1
n+3
）+（class="stub"1
n+3
-class="stub"1
n+4
）+…+（class="stub"1
2n
-class="stub"1
2n+1
）
=class="stub"1
n+1
-class="stub"1
2n+1
=class="stub"n
2n2+3n+1
=class="stub"1
2n+class="stub"1
n
+3
，
设y=2x+class="stub"1
x
+3，则函数在（
2
2
，+∞）上递增，
∴当n=1时，2n+class="stub"1
n
+3取到最小值为6，
∴bn的最大值为b1=class="stub"1
6
，
故要使不等式t2-2mt+class="stub"1
6
＞bn对一切m∈[-1，1]成立，
须使t2-2mt+class="stub"1
6
＞class="stub"1
6
，即t2-2mt＞0对一切m∈[-1，1]恒成立．
设g（m）=t2-2mt，
当t=0时，g（m）＞0不成立，
当t≠0时，g（m）是一次函数，
则
g(1)＞0
g(-1)＞0
，即
t2-2t＞0
t2+2t＞0
，解得t＞2或t＜-2，
综上得，t的取值范围是（-∞，-2）∪（2，+∞）．

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