首页 > 已知数列An：a1，a2，…，an，满足a1=an=0，且当2≤k≤n（k∈N*）时，(ak-ak-1)2=1．令S（An）=a1+a2+…+an．（Ⅰ）写出S（A5）的所有可能取值；（Ⅱ）求S（An

已知数列An：a1，a2，…，an，满足a1=an=0，且当2≤k≤n（k∈N*）时，(ak-ak-1)2=1．令S（An）=a1+a2+…+an．（Ⅰ）写出S（A5）的所有可能取值；（Ⅱ）求S（An

题目简介

已知数列An：a1，a2，…，an，满足a1=an=0，且当2≤k≤n（k∈N*）时，(ak-ak-1)2=1．令S（An）=a1+a2+…+an．（Ⅰ）写出S（A5）的所有可能取值；（Ⅱ）求S（An

题目详情

已知数列An：a1，a2，…，an，满足a1=an=0，且当2≤k≤n（k∈N*）时，(ak-ak-1)2=1．令S（An）=a1+a2+…+an．
（Ⅰ）写出S（A5）的所有可能取值；
（Ⅱ）求S（An）的最大值．
题型：解答题难度：中档来源：朝阳区二模

答案

（Ⅰ）由题设，满足条件的数列A5的所有可能情况有：
（1）0，1，2，1，0．此时S（A5）=4；
（2）0，1，0，1，0．此时S（A5）=2；
（3）0，1，0，-1，0．此时S（A5）=0；
（4）0，-1，-2，-1，0．此时S（A5）=-4；
（5）0，-1，0，1，0．此时S（A5）=0；
（6）0，-1，0，-1，0．此时S（A5）=-2．
所以，S（A5）的所有可能取值为：-4，-2，0，2，4．．…（5分）
（Ⅱ）由(ak-ak-1)2=1，可设ak-ak-1=ck-1，则ck-1=1或ck-1=-1（2≤k≤n，k∈N*），a2-a1=c1，a3-a2=c2，
…an-an-1=cn-1，
所以an=a1+c1+c2+…+cn-1．                               …（7分）
因为a1=an=0，所以c1+c2+…+cn-1=0，且n为奇数，c1，c2，…，cn-1是由class="stub"n-1
2
个1和class="stub"n-1
2
个-1构成的数列．
所以S（An）=c1+（c1+c2）+…+（c1+c2+…+cn-1）=（n-1）c1+（n-2）c2+…+2cn-2+cn-1．
则当c1，c2，…，cn-1的前class="stub"n-1
2
项取1，后class="stub"n-1
2
项取-1时S（An）最大，
此时S（An）=(n-1)+(n-2)+…+class="stub"n+1
2
-(class="stub"n-1
2
+…+2+1)=
(n-1)2
4
．．…（10分）
证明如下：
假设c1，c2，…，cn-1的前class="stub"n-1
2
项中恰有t项cm1，cm2，…，cmt取-1，则c1，c2，…，cn-1的后class="stub"n-1
2
项中恰有t项cn1，cn2，…cnt取1，其中1≤t≤class="stub"n-1
2
，1≤mi≤class="stub"n-1
2
，class="stub"n-1
2
＜ni≤n-1，i=1，2，…，t．
所以S（An）=(n-1)c1+(n-2)c2+…+class="stub"n+1
2
cclass="stub"n-1
2
+class="stub"n-1
2
cclass="stub"n+1
2
+…+2cn-2+cn-1=(n-1)+(n-2)+…+class="stub"n+1
2
-(class="stub"n-1
2
+…+2+1)-2[（n-m1）+（n-m2）+…+（n-mt）]+2[（n-n1）+（n-n2）+…+（n-nt）]=
(n-1)2
4
-2[(n1-m1)+(n2-m2)+…+(nt-mt)]＜
(n-1)2
4
．
所以S（An）的最大值为
(n-1)2
4
．．…（13分）

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