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设f(n)=1+12+13+…+1n(n∈N*)，是否存在g（n），使得等式f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）+n=ng（n）f（n）总成立？若存在，请写出g（n）通项公式（不必说明理由）；若

题目简介

设f(n)=1+12+13+…+1n(n∈N*)，是否存在g（n），使得等式f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）+n=ng（n）f（n）总成立？若存在，请写出g（n）通项公式（不必说明理由）；若

题目详情

设f(n)=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
(n∈N*)，是否存在g（n），使得等式f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）+n=ng（n）f（n）总成立？若存在，请写出g（n）通项公式（不必说明理由）；若不存在，说明理由．______．
题型：填空题难度：偏易来源：奉贤区二模

答案

f（1）=1
f（2）=1+class="stub"1
2

f（3）=1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3

…
f（n）=1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+…class="stub"1
n

所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）
=n×1+class="stub"1
2
（n-1）+class="stub"1
3
（n-2）…class="stub"1
n
[n-（n-1）]
=n[1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+…class="stub"1
n
]-[class="stub"1
2
+class="stub"2
3
+class="stub"3
4
…class="stub"n-1
n
]
=nf（n）-[1-class="stub"1
2
+1-class="stub"1
3
+1-class="stub"1
4
…1-class="stub"1
n
]
=nf（n）-[（n-1）-f（n）+1]
=（n+1）f（n）-n
因为f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）+n=ng（n）f（n）
所以（n+1）f（n）=ng（n）f（n）
所以g（n）=class="stub"n+1
n

故答案为：存在，通项公式g(n)=class="stub"n+1
n

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