优课网
首页
数学
语文
英语
化学
物理
政治
历史
生物
首页
> 数列{an}满足a1=1且8an+1an-16an+1+2an+5=0（n≥1）．记bn=1an-12(n≥1)．（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的
数列{an}满足a1=1且8an+1an-16an+1+2an+5=0（n≥1）．记bn=1an-12(n≥1)．（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的
题目简介
数列{an}满足a1=1且8an+1an-16an+1+2an+5=0（n≥1）．记bn=1an-12(n≥1)．（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的
题目详情
数列{a
n
}满足a
1
=1且8a
n+1
a
n
-16a
n+1
+2a
n
+5=0（n≥1）．记
b
n
=
1
a
n
-
1
2
(n≥1)
．
（Ⅰ）求b
1
、b
2
、b
3
、b
4
的值；
（Ⅱ）求数列{b
n
}的通项公式及数列{a
n
b
n
}的前n项和S
n
．
题型：解答题
难度：中档
来源：重庆
答案
法一：
（I）a1=1，故
b
1
=
class="stub"1
1-
class="stub"1
2
=2
；
a
2
=
class="stub"7
8
，
故
b
2
=
class="stub"1
class="stub"7
8
-
class="stub"1
2
=
class="stub"8
3
；
a
3
=
class="stub"3
4
，
故
b
3
=
class="stub"1
class="stub"3
4
-
class="stub"1
2
=4
；
a
4
=
class="stub"13
20
，
故
b
4
=
class="stub"20
3
．
（II）因
(
b
1
-
class="stub"4
3
)(
b
3
-
class="stub"4
3
)=
class="stub"2
3
×
class="stub"8
3
=(
class="stub"4
3
)
2
，
(
b
2
-
class="stub"4
3
)
2
=(
class="stub"4
3
)
2
，(
b
1
-
class="stub"4
3
)(
b
3
-
class="stub"4
3
)=(
b
2
-
class="stub"4
3
)
2
故猜想
{
b
n
-
class="stub"4
3
}
是首项为
class="stub"2
3
，公比q=2的等比数列．
因an≠2，（否则将an=2代入递推公式会导致矛盾）故
a
n+1
=
class="stub"5+2a
16-8
a
n
(n≥1)
．
因
b
n+1
-
class="stub"4
3
=
class="stub"1
a
n+1
-
class="stub"1
2
-
class="stub"4
3
=
16-8
a
n
6
a
n
-3
-
class="stub"4
3
=
20-16
a
n
6
a
n
-3
，
2(
b
n
-
class="stub"4
3
)=
class="stub"2
a
n
-
class="stub"1
2
-
class="stub"8
3
=
20-16
a
n
6
a
n
-3
=
b
n+1
-
class="stub"4
3
，
b
1
-
class="stub"4
3
≠0，
故
|
b
n
-
class="stub"4
3
|
确是公比为q=2的等比数列．
因
b
1
-
class="stub"4
3
=
class="stub"2
3
，故
b
n
-
class="stub"4
3
=
class="stub"1
3
•
2
n
，
b
n
=
class="stub"1
3
•
2
n
+
class="stub"4
3
(n≥1)
，
由
b
n
=
class="stub"1
a
n
-
class="stub"1
2
得
a
n
b
n
=
class="stub"1
2
b
n
+1
，
故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn=
class="stub"1
2
(
b
1
+
b
2
++
b
n
)+n
=
class="stub"1
3
(1-
2
n
)
1-2
+
class="stub"5
3
n
=
class="stub"1
3
(
2
n
+5n-1)
法二：
（Ⅰ）由
b
n
=
class="stub"1
a
n
-
class="stub"1
2
得
a
n
=
class="stub"1
b
n
+
class="stub"1
2
，代入递推关系8an+1an-16an+1+2an+5=0，
整理得
class="stub"4
b
n+1
b
n
-
class="stub"6
b
n+1
+
class="stub"3
b
n
=0
，即
b
n+1
=2
b
n
-
class="stub"4
3
，
由a1=1，有b1=2，所以
b
2
=
class="stub"8
3
，
b
3
=4，
b
4
=
class="stub"20
3
．
（Ⅱ）由
b
n+1
=2
b
n
-
class="stub"4
3
，
b
n+1
-
class="stub"4
3
=2(
b
n
-
class="stub"4
3
)，
b
1
-
class="stub"4
3
=
class="stub"2
3
≠0
，
所以
{
b
n
-
class="stub"4
3
}
是首项为
class="stub"2
3
，公比q=2的等比数列，
故
b
n
-
class="stub"4
3
=
class="stub"1
3
•
2
n
，即
b
n
=
class="stub"1
3
•
2
n
+
class="stub"4
3
(n≥1)
．
由
b
n
=
class="stub"1
a
n
-
class="stub"1
2
，得
a
n
b
n
=
class="stub"1
2
b
n
+1
，
故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn=
class="stub"1
2
(
b
1
+
b
2
++
b
n
)+n
=
class="stub"1
3
(1-
2
n
)
1-2
+
class="stub"5
3
n
=
class="stub"1
3
(
2
n
+5n-1)
．
法三：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）
b
2
-
b
1
=
class="stub"2
3
，
b
3
-
b
2
=
class="stub"4
3
，
b
4
-
b
3
=
class="stub"8
3
，
class="stub"2
3
×
class="stub"8
3
=(
class="stub"4
3
)
2
猜想{bn+1-bn}是首项为
class="stub"2
3
，
公比q=2的等比数列，
b
n+1
-
b
n
=
class="stub"1
3
•
2
n
又因an≠2，故
a
n+1
=
5+2
a
n
16-8
a
n
(n≥1)
．
因此
b
n+1
-
b
n
=
class="stub"1
a
n+1
-
class="stub"1
2
-
class="stub"1
a
n
-
class="stub"1
2
=
class="stub"1
5+2
a
n
16-8
a
n
-
class="stub"1
2
-
class="stub"2
2
a
n
-1
=
16-8
a
n
6
a
n
-3
-
class="stub"6
6
a
n
-3
=
10-8
a
n
6
a
n
-3
；
b
n+2
-
b
n+1
=
class="stub"1
a
n+2
-
class="stub"1
2
-
class="stub"1
a
n+1
-
class="stub"1
2
=
16-8
a
n+1
6
a
n+1
-3
-
16-8
a
n
6
a
n
-3
=
36-24
a
n
6
a
n
-3
-
16-8
a
n
6
a
n
-3
=
20-16
a
n
6
a
n
-3
=2(
b
n+1
-
b
n
)
．
因
b
2
-
b
1
=
class="stub"2
3
≠0，{
b
n+1
-
b
n
}
是公比q=2的等比数列，
b
n+1
-
b
n
=
class="stub"1
3
•
2
n
，
从而bn=（bn-bn-1）+（bn-1-bn-2）+…+（b2-b1）+b1
=
class="stub"1
3
(
2
n-1
+
2
n-2
++
2
1
)+2
=
class="stub"1
3
(
2
n
-2)+2
=
class="stub"1
3
•
2
n
+
class="stub"4
3
(n≥1)
．
由
b
n
=
class="stub"1
a
n
-
class="stub"1
2
得
a
n
b
n
=
class="stub"1
2
b
n
+1
，
故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn=
class="stub"1
2
(
b
1
+
b
2
++
b
n
)+n
=
class="stub"1
3
(1-
2
n
)
1-2
+
class="stub"5
3
n
=
class="stub"1
3
(
2
n
+5n-1)
．
上一篇 :
已知数列{an}中，an+1=an+2n，n∈N
下一篇 :
已知等差数列{an}，a1=29，S10=S20
搜索答案
更多内容推荐
（本题满分12分）设数列{an}的前n项和为Sn＝2n2，{bn}为等比数列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）设cn＝，求数列{cn}的前n项和
若成等比数列，则的最小值为．-高三数学
A．B．C．D．-高二数学
设是公比大于1的等比数列，为数列的前n项和，已知，且成等差数列.(I)求数列的通项公式；(II)若，求和：-高三数学
（满分12分）已知n是大于1的自然数,-高二数学
已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200＝（）A．100B．101C．200D．201-高三数学
设数列{an}的前n项和为Sn，点P（Sn，an）在直线（3﹣m）x+2my﹣m﹣3=0上，（m∈N*，m为常数，m≠3）；（1）求an；（2）若数列{an}的公比q=f（m），数列{bn}满足，求证
设f(n)=1+12+13+…+1n(n∈N*)，是否存在g（n），使得等式f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）+n=ng（n）f（n）总成立？若存在，请写出g（n）通项公式（不必说明理由）；若
已知,则等于（）A．B．C．D．-高二数学
递减等差数列{an}的前n项和Sn满足S5＝S10，则欲使Sn最大，则n＝_____-高二数学
若a、4、3a为等差数列的连续三项，则的值为（）A．1025B．1023C．1062D．2047-高三数学
已知数列满足，则数列=.-高二数学
已知实数a,b满足a+2b=1，则2a+4b的最小值是A．2B．2C．4D．4-高三数学
数列的前项和为，若，则等于（）A．1B．C．D．-数学
在等差数列｛an｝中，若aa+ab=12，是数列｛an｝的前n项和，则的值为（）A．48B．54C．60D．66-高三数学
．已知数列中，，，（1）求；（2）设，求数列是等差数列的前n项的和.-高一数学
如图，程序框图所进行的求和运算是______．（填写以下正确算式的序号）①12+14+16+…+120；②1+13+15+…+119；③1+12+14+…+118；④12+122+123+…+1210
求和.-高二数学
在有限数列{an}中，Sn是{an}的前n项和，我们把称为数列{an}的“均和”.现有一个共2010项的数列{an}：a1，a2，a3，…，a2009，a2010若其“均和”为2011，则有2011项
若数列的通项公式为，其前项和为，则为A．5B．6C．7D．8-高二数学
已知是等比数列，，则=．-高三数学
（本小题满分12分）已知数列满足a1=1，an＋1=2an＋1(n∈N*)(1)求证：数列{an＋1}是等比数列；(2)求{an}的通项公式．-高二数学
（本小题满分12分）等差数列{}的前n项和记为Sn.已知（Ⅰ）求通项（Ⅱ）求数列的前11项的和S11-高二数学
数列的通项,其前项和为,则="(")A．470B．490C．495D．510-高一数学
（本小题满分12分）已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和；且Sn="2"an-2（n∈N*）；（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}的前n项和为Tn，且b
作边长为a的正三角形的内切圆，在这个圆内作新的内接正三角形，在新的正三角形内再作内切圆，如此继续下去，所有这些圆的周长之和及面积之和分别为________。-高三数学
已知Sn是数列{an}的前n项和，且有Sn=n2+1，则数列{an}的通项an=______．-数学
若对任意的自然数n，Sn=11×2+12×3+13×4+…+1n×(n+1)=1011，则n=______．-高二数学
，且，则（）A．9B．8C．7D．6-高一数学
数列满足并且，则数列的第2010项为A．B．C．D．-高三数学
数列前n项的和为（）A．B．C．D．-高二数学
（本小题分）设是数列的前项和，点在直线上.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记，数列的前项和为，求使的的最小值；(Ⅲ)设正数数列满足，求数列中的最大项.-高三数学
数列的通项公式为,前项和为,则的值为()A．7B．8C．9D．10-高一数学
定义：若数列对任意的正整数n，都有（d为常数），则称为“绝对和数列”，d叫做“绝对公和”，已知“绝对和数列”，“绝对公和”，则其前2010项和的最小值为-高二数学
根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn（万件）近似地满足Sn=（21n－n2－5）（n=1，2，……，12），按此预测，在本年度内，需求量超过1．5万件的月份是-高三数
设数列满足（1）求数列的通项（2）设，求数列的前项和-高三数学
观察下列各式并填空：1=1，2+3+4=9，3+4+5+6+7=，4+5+6+7+8+9+10=49，…，由此可归纳出=。-高三数学
已知数列An：a1，a2，…，an，满足a1=an=0，且当2≤k≤n（k∈N*）时，(ak-ak-1)2=1．令S（An）=a1+a2+…+an．（Ⅰ）写出S（A5）的所有可能取值；（Ⅱ）求S（An
已知数列{an}的前n项和为sn，满足Sn=2an-2n（n∈N+），（1）求数列{an}的通项公式an；（2）若数列bn满足bn=log2（an+2），Tn为数列{bnan+2}的前n项和，求Tn（
．若，则该数列的前2011项的乘积()A．3．B．-6．C．．D．．-高三数学
用三个字母组成一个长度为个字母的字符串，要求由开始，相邻两个字母不同.例如时，排出的字符串可能是或；时排出的字符串可能是，（如图）.若记这种个字符串中，排在最后一个-高三数学
（满分12分）已知是一个等差数列，且（1）求的通项及前n项和；（2）若，求的前n项和．-高一数学
a、b∈R，且|a|<1,|b|<1，则无穷数列：1,（1+b）a,（1+b+b2）a2,…,（1+b+b2+…+bn－1）an－1…的和为（）A．B．C．D．-高三数学
若数列{an}的前n项和Sn=2n2＋n，那么它的通项公式是-高二数学
已知数列满足关系式，则的值是_________________________。-数学
-高三数学
求和：.-高三数学
（本小题14分）数列的前项和为,且对都有,则：(1)求数列的前三项；(2)根据上述结果，归纳猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.(3)求证：对任意都有.-高二数学
已知，为数列的前n项和，则________.-高三数学
数列的前项和，则-高二数学
返回顶部
题目简介
数列{an}满足a1=1且8an+1an-16an+1+2an+5=0（n≥1）．记bn=1an-12(n≥1)．（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的
题目详情
（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；
（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn．
答案
（I）a1=1，故b1=
故b2=
故b3=
故b4=
（II）因(b1-
故猜想{bn-
因an≠2，（否则将an=2代入递推公式会导致矛盾）故an+1=
因bn+1-
2(bn-
故|bn-
因b1-
由bn=
故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn=
法二：
（Ⅰ）由bn=
整理得
由a1=1，有b1=2，所以b2=
（Ⅱ）由bn+1=2bn-
所以{bn-
故bn-
由bn=
故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn=
法三：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）b2-b1=
公比q=2的等比数列，bn+1-bn=
又因an≠2，故an+1=
因此bn+1-bn=
bn+2-bn+1=
因b2-b1=
从而bn=（bn-bn-1）+（bn-1-bn-2）+…+（b2-b1）+b1
=
=
=
由bn=
故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn=