首页 > 如图．矩形ABCD中，AB=1，BC=2，将矩形ABCD绕D点顺时针旋转90°得矩形A′B′C′D，再将矩形A′B′C′D绕C′顺时针旋转90°得矩形A″B″C′D′．（1）求两次旋转点A经历的轨迹的

如图．矩形ABCD中，AB=1，BC=2，将矩形ABCD绕D点顺时针旋转90°得矩形A′B′C′D，再将矩形A′B′C′D绕C′顺时针旋转90°得矩形A″B″C′D′．（1）求两次旋转点A经历的轨迹的

题目简介

如图．矩形ABCD中，AB=1，BC=2，将矩形ABCD绕D点顺时针旋转90°得矩形A′B′C′D，再将矩形A′B′C′D绕C′顺时针旋转90°得矩形A″B″C′D′．（1）求两次旋转点A经历的轨迹的

题目详情

如图．矩形ABCD中，AB=1，BC=2，将矩形ABCD绕D点顺时针旋转90°得矩形A′B′C′D，再将矩形A′B′C′D绕C′顺时针旋转90°得矩形A″B″C′D′．
（1）求两次旋转点A经历的轨迹的总长度；
（2）求阴影部分①的面积；
（3）求阴影部分②的面积（在直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么它所对的角等于30度．）．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）连接AC，在Rt△ABC中，
∵AB=1，BC=2，
∴根据勾股定理得：AC=
AB2+BC2
=
5
，
由旋转可知A′C′=A″C″=
5
，A′D=AD=BC=2，
又A′B′=C′D′，∠A′B′C′=∠A″D′C′=90°，B′C′=D′A″，
∴△AB′C′≌△C′D′A″（SAS），
∴∠AC′B′=∠C′A″D′，又∠C′A″D′+∠D′C′A″=90°，
∴∠C′A″D′+∠AC′B=90°，即∠A′C′A″=90°，
则两次旋转点A经历的轨迹的总长度为
AA′
+
A′A″
=class="stub"90π×2
180
+
90π×
5
180
=π+
5
2
π；

（2）∵△AB′C′≌△C′D′A″，且两三角形面积都为矩形面积的一半，
∴阴影部分①的面积S=S扇形A′C′A″-2S△AB′C′
=S扇形A′C′A″-S矩形=
90π×(
5
)2
360
-1×2=class="stub"5
4
π-2；

（3）∵ED=A′D=AD=BC=2，CD=AB=1，且∠ECD=90°，
∴∠CED=30°，又BC∥AD，
∴∠ADE=30°，
又在Rt△ECD中，ED=2，CD=1，
根据勾股定理得：EC=
ED2-CD2
=
3
，
则阴影部分②的面积S=S扇形ADE+S△ECD=
30π×22
360
+class="stub"1
2
×
3
×1=class="stub"1
3
π+
3
2
．

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网