首页 > 如图，三角板ABC中，∠ACB=90°，AB=2，∠A=30°，三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A1B1C，求：（1）弧AA1的长；（2）在这个旋转过程中三角板AC边所扫过的扇形ACA1

如图，三角板ABC中，∠ACB=90°，AB=2，∠A=30°，三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A1B1C，求：（1）弧AA1的长；（2）在这个旋转过程中三角板AC边所扫过的扇形ACA1

题目简介

如图，三角板ABC中，∠ACB=90°，AB=2，∠A=30°，三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A1B1C，求：（1）弧AA1的长；（2）在这个旋转过程中三角板AC边所扫过的扇形ACA1

题目详情

如图，三角板ABC中，∠ACB=90°，AB=2，∠A=30°，三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A1B1C，求：
（1）弧AA1的长；
（2）在这个旋转过程中三角板AC边所扫过的扇形ACA1的面积；
（3）在这个旋转过程中三角板所扫过的图形面积；
（4）在这个旋转过程中三角板AB边所扫过的图形面积．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵∠ACB=90°，AB=2，∠A=30°，
∴BC=class="stub"1
2
AB=class="stub"1
2
×2=1，
根据勾股定理，AC=
AB2-BC2
=
22-12
=
3
，
∴弧AA1=
90•π•
3
180
=
3
2
π；

（2）扇形ACA1的面积=
90•π•
3
2
360
=class="stub"3
4
π；

（3）设弧BB1与AB相交于D，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=90°-30°=60°，
又∵BC=CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD=BC=1，
∴AD=AB-BD=2-1=1，
∴S△ACD=class="stub"1
2
S△ABC=class="stub"1
2
×class="stub"1
2
×1×
3
=
3
4
，
∴三角板所扫过的图形面积=S扇形BCD+S扇形ACA1+S△ACD，
=
60•π•12
360
+
90•π•
3
2
360
+
3
4
，
=class="stub"11
12
π+
3
4
；

（4）过点C作CE⊥AB于E，
S△ABC=class="stub"1
2
AB•CE=class="stub"1
2
BC•AC，
即class="stub"1
2
×2×CE=class="stub"1
2
×1×
3
，
解得CE=
3
2
，
S△BCE+S△A1CE1=S△ABC=class="stub"1
2
×1×
3
=
3
2
，
S扇形ECE1=
90•π•(
3
2
)2
360
=class="stub"3
16
π，
∴AB边所扫过的图形面积=（class="stub"11
12
π+
3
4
）-
3
2
-class="stub"3
16
π=class="stub"35
48
π-
3
4
．

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