长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，AB=BC=2，O是底面对角线的交点．（Ⅰ）求证：B1D1∥平面BC1D；（Ⅱ）求证：A1O⊥平面BC1D；（Ⅲ）求三棱锥A1-DBC1的体积．-高二数

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长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA1=

，AB=BC=2，O是底面对角线的交点．
（Ⅰ）求证：B₁D₁∥平面BC₁D；
（Ⅱ）求证：A₁O⊥平面BC₁D；
（Ⅲ）求三棱锥A₁-DBC₁的体积．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）证明：依题意：B1D1∥BD，且B1D1在平面BC1D外．（2分）
∴B1D1∥平面BC1D（3分）
（Ⅱ）证明：连接OC1
∵BD⊥AC，AA1⊥BD
∴BD⊥平面ACC1A1（4分）
又∵O在AC上，∴A1O在平面ACC1A1上
∴A1O⊥BD（5分）
∵AB=BC=2∴AC=A1C1=2

∴OA=

∴Rt△AA1O中，A1O=

AA12+OA2

=2（6分）
同理：OC1=2
∵△A1OC1中，A1O2+OC12=A1C12
∴A1O⊥OC1（7分）
∴A1O⊥平面BC1D（8分）
（Ⅲ）∵A1O⊥平面BC1D
∴所求体积V=class="stub"1

•A1O•class="stub"1

•BD•OC1（10分）
=class="stub"1

•2•class="stub"1

•2

•2=

（12分）

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长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，AB=BC=2，O是底面对角线的交点．（Ⅰ）求证：B1D1∥平面BC1D；（Ⅱ）求证：A1O⊥平面BC1D；（Ⅲ）求三棱锥A1-DBC1的体积．-高二数

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