如图,已知PA⊥面ABCD,PA=AB=AD=12CD,∠BAD=∠ADC=90°(1)在面PCD上找一点M,使BM⊥面PCD;(2)求由面PBC与面PAD所成角的二面角的余弦值.-高二数学

题目简介

如图,已知PA⊥面ABCD,PA=AB=AD=12CD,∠BAD=∠ADC=90°(1)在面PCD上找一点M,使BM⊥面PCD;(2)求由面PBC与面PAD所成角的二面角的余弦值.-高二数学

题目详情

如图,已知PA⊥面ABCD,PA=AB=AD=
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CD,∠BAD=∠ADC=90°
(1)在面PCD上找一点M,使BM⊥面PCD;
(2)求由面PBC与面PAD所成角的二面角的余弦值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)M为PC的中点,设PD中点为N,则MN=class="stub"1
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CD,且MNclass="stub"1
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CD,∴MN=AB,MNAB.
再由 PA=AB=AD=class="stub"1
2
CD,可得ABMN为平行四边形,∴BMAN.
可得∠PAD=90°,∴AN⊥PD,又CD⊥AN,∴AN⊥面PCD,∴BM⊥面PCD.…(6分)
(2)延长CB交DA于E,∵AB=class="stub"1
2
CD,且ABclass="stub"1
2
CD,∴AE=AD=PA,∴PD⊥PE.
又∴PE⊥CD,∴PE⊥面PCD,∴∠CPD为二面角C-PE-D的平面角.
再由PD=
2
AD,CD=2AD,可得tan∠CPD=
2

∴cos∠CPD=
3
3
.…(12分)

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