首页 > 如图，在四面体ABCD中，平面EFGH分别平行于棱CD、AB，E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上，且CD=a，AB=b，CD⊥AB．（1）求证：四边形EFGH是矩形．（2）设DEDB=λ(0

如图，在四面体ABCD中，平面EFGH分别平行于棱CD、AB，E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上，且CD=a，AB=b，CD⊥AB．（1）求证：四边形EFGH是矩形．（2）设DEDB=λ(0

题目简介

如图，在四面体ABCD中，平面EFGH分别平行于棱CD、AB，E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上，且CD=a，AB=b，CD⊥AB．（1）求证：四边形EFGH是矩形．（2）设DEDB=λ(0

题目详情

如图，在四面体ABCD中，平面EFGH分别平行于棱CD、AB，E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上，且CD=a，AB=b，CD⊥AB．
（1）求证：四边形EFGH是矩形．
（2）设
DE
DB
=λ(0＜λ＜1)，问λ为何值时，四边形EFGH的面积最大？
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）证明：∵CD∥面EFGH，CD⊂平面BCD，
而平面EFGH∩平面BCD=EF．∴CD∥EF同理HG∥CD．∴EF∥HG
同理HE∥GF．∴四边形EFGH为平行四边形…（3分）
由CD∥EF，HE∥AB∴∠HEF（或其补角）为CD和AB所成的角，
又∵CD⊥AB．∴HE⊥EF．∴四边形EFGH为矩形．…..（6分）
（2）由（1）可知在△ABD中EH∥AB，∴class="stub"DE
DB
=class="stub"EH
AB
=λ，所以EH=λb，
在△BCD中EF∥CD，∴class="stub"BE
BD
=class="stub"EF
CD
=1-λ，所以EF=a（1-λ） …（8分）
又EFGH是矩形，故四边形EFGH的面积S=a（1-λ）•λb≤ab(class="stub"λ+1-λ
2
)2=class="stub"1
4
ab，当且仅当λ=1-λ，
即λ=class="stub"1
2
时等号成立，即E为BD的中点时，矩形EFGH的面积最大为class="stub"1
4
ab…．（12分）

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网