如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,D1D⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形,且AB=1,D1D=2,E、F、G分别A1B1、B1C1、BB1的中点.(1)求直线D1B与平面ABCD所成角的

题目简介

如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,D1D⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形,且AB=1,D1D=2,E、F、G分别A1B1、B1C1、BB1的中点.(1)求直线D1B与平面ABCD所成角的

题目详情

如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,D1D⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形,且AB=1,D1D=
2
,E、F、G分别A1B1、B1C1、BB1的中点.
(1)求直线D1B与平面ABCD所成角的大小.
(2)求证:AC平面EGF.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)证明:在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,D1D⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形,
故直线D1B在底面ABCD内的射影为BD,故∠D1BD 为直线D1B与平面ABCD所成角的大小,
再由AB=1,D1D=
2
,可得tan∠D1BD=
D1D
BD
=
2
2
=1,∴∠D1BD=class="stub"π
4

(2)由于E、F、G分别A1B1、B1C1、BB1的中点,可得EF为三角形B1A1C1的中位线,
故有EF平行且等于class="stub"1
2
A1C1.
再由A1C1和AC平行且相等,可得EFAC.
再由EF⊂平面EGF,而AC不再平面EGF内,故有AC平面EGF.

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