已知正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直,M为AC上一点,N为BF上一点,且AM=FN=x有,设AB=a(1)求证:MN∥平面CBE;(2)求证:MN⊥AB;(3)当x为何值时,MN

题目简介

已知正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直,M为AC上一点,N为BF上一点,且AM=FN=x有,设AB=a(1)求证:MN∥平面CBE;(2)求证:MN⊥AB;(3)当x为何值时,MN

题目详情

已知正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直,M为AC上一点,N为BF上一点,且AM=FN=x有,设AB=a
(1)求证:MN平面CBE;
(2)求证:MN⊥AB;
(3)当x为何值时,MN取最小值?并求出这个最小值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

证明:(1)在平面ABC中,作MGAB,在平面BFE中,作NHEF,
连接GH∵AM=FN∴MC=NB∵class="stub"MG
AB
=class="stub"MC
NC
=class="stub"NB
EF

MG
.
.
NH
∴MNHG为平行四边形;∴MNGH
又∵GH⊆面BEC,MN≠⊂面BEC∴MN面BEC
(2)∵AB⊥BC,AB⊥BE∴AB⊥面BEC∵GH⊆面GEC∴AB⊥GH∵MNGH∴MN⊥AB
(3)∵面ABCD⊥面ABEF∴BE⊥面ABCD∴BE⊥BC
∵BG=class="stub"x
2
,BH=
2
a-x
2

∴MN=GH=
BG2+BH2

=
x2+x2-2
2
ax+2a2
2

=
x2-
2
ax+a2
0<a<
2
a

=
(x-
2
2
a)
2
+
a2
2
2
2
a
当且仅当x=
2
2
a
时,等号成立;
∴当x=
2
2
a
时,MN取最小值
2
2
a

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