已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=AA1,D,E,F分别为AB1,CC1,BC的中点.(1)求证:DE∥平面ABC;(2)求证:B1F⊥平面AEF.-高二数学

题目简介

已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=AA1,D,E,F分别为AB1,CC1,BC的中点.(1)求证:DE∥平面ABC;(2)求证:B1F⊥平面AEF.-高二数学

题目详情

已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=AA1,D,E,F分别为AB1,CC1,BC的中点.
(1)求证:DE平面ABC;
(2)求证:B1F⊥平面AEF.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

证明:(1)取AA1,的中点G,连接DG,EG
∵D,E为AB1,CC1的中点,
则DGAB,EGAC,
又∵DG,EG⊂平面GDE,DG∩EG=G,AB,AC⊂平面ABC
∴平面GDE平面ABC,
又∵DG⊂平面GDE
∴DG平面ABC.
(2)连结AF,则AF⊥平面BCC1B1.
∵AB=AC,F为BC的中点
∴AF⊥BC
∵棱柱ABC-A1B1C1为直棱柱
∴平面ABC⊥平面BCC1B1.
又∵平面ABC∩平面BCC1B1=BC
∴AF⊥平面BCC1B1,
又∵B1F⊂平面BCC1B1,
∴B1F⊥AF,
在△B1FE中,B1F=
6
2
AB,B1=class="stub"3
2
AB,EF=
3
2
AB
由勾股定理易得B1F⊥EF,
又∵AF,EF⊂平面AEF,AF∩EF=F
∴B1F⊥平面AEF.

更多内容推荐