首页 > 如图所示，已知ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=2，AB=BC=1，PA⊥平面ABCD．（1）证明：PC⊥CD；（2）若E是PA的中点，证明：BE∥平面PCD；（3）若PA=3，

如图所示，已知ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=2，AB=BC=1，PA⊥平面ABCD．（1）证明：PC⊥CD；（2）若E是PA的中点，证明：BE∥平面PCD；（3）若PA=3，

题目简介

如图所示，已知ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=2，AB=BC=1，PA⊥平面ABCD．（1）证明：PC⊥CD；（2）若E是PA的中点，证明：BE∥平面PCD；（3）若PA=3，

题目详情

如图所示，已知ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=2，AB=BC=1，PA⊥平面ABCD．
（1）证明：PC⊥CD；
（2）若E是PA的中点，证明：BE∥平面PCD；
（3）若PA=3，求三棱锥B-PCD的体积．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由已知易得AC=
2
，CD=
2
．（1分）
∵AC2+CD2=AD2，
∴∠ACD=90°，即AC⊥CD．（2分）
又∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴PA⊥CD．（3分）
∵PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC．（4分）
∵PC⊂平面PAC，
∴CD⊥PC．（5分）

（2）取AD的中点为F，连接BF，EF．
∵AD=2，BC=1，
∴BC∥FD，且BC=FD，
∴四边形BCDF是平行四边形，即BF∥CD．（6分）
∵BF⊄平面PCD，
∴BF∥平面PCD．（7分）
∵E，F分别是PA，AD的中点，
∴EF∥PD．
∵EF⊄平面PCD，
∴EF∥平面PCD．（9分）
∵EF∩BF=F，
∴平面BEF∥平面PCD．（10分）
∵EF⊂平面BEF，
∴BE∥平面PCD．（11分）

（3）由已知得S△BCD=class="stub"1
2
×1×1=class="stub"1
2
，（12分）
所以，VB-PCD=VP-BCD=class="stub"1
3
×PA×S△BCD=class="stub"1
3
×3×class="stub"1
2
=class="stub"1
2
．（14分）

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