正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E、G分别是BC、C1D1的中点(1)求证:EG∥平面BDD1B1(2)求E到平面BDD1B1的距离.-高二数学

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正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E、G分别是BC、C1D1的中点(1)求证:EG∥平面BDD1B1(2)求E到平面BDD1B1的距离.-高二数学

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正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E、G分别是BC、C1D1的中点
(1)求证:EG平面BDD1B1
(2)求E到平面BDD1B1的距离.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)取BD的中点F,连结EF,D1F,
∵E为BC的中点,
∴EF为三角形BCD的中位线,
则EFDC,且EF=class="stub"1
2
CD,
∵G为C1D1的中点,
∴D1GCD,且D1G=class="stub"1
2
CD,
∴EFD1C,且EF=D1G,
∴四边形EFD1G为平行四边形,
∴D1FEG,而D1F⊂平面BB1D1D,EG⊄平面BB1D1D,
∴EG平面BB1D1D.
(2)∵EG平面BDD1B1,则G到平面BDD1B1的距离,即为E到平面BDD1B1的距离.
∴过G作GN⊥B1D1于N,则GN⊥面BDD1B1,
∵G是C1D1的中点,
∴D1G=class="stub"1
2

又sin45°=class="stub"GN
D1G
=
2
2

∴GN=
2
2
×class="stub"1
2
=
2
4

即E到平面BDD1B1的距离为
2
4

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