首页 > 已知函数f（t）=1-t1+t，g（x）=cosx•f（sinx）+sinx•f（cosx），x∈（π，1712π]，求函数g（x）的最小正周期、单调区间及值域．-数学

已知函数f（t）=1-t1+t，g（x）=cosx•f（sinx）+sinx•f（cosx），x∈（π，1712π]，求函数g（x）的最小正周期、单调区间及值域．-数学

题目简介

已知函数f（t）=1-t1+t，g（x）=cosx•f（sinx）+sinx•f（cosx），x∈（π，1712π]，求函数g（x）的最小正周期、单调区间及值域．-数学

题目详情

已知函数f（t）=
1-t
1+t
，g（x）=cosx•f（sinx）+sinx•f（cosx），x∈（π，
17
12
π]，求函数g（x）的最小正周期、单调区间及值域．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

f（t）=
class="stub"1-t
1+t

∴f（sinx）=
class="stub"1-sinx
1+sinx

f（cosx）=
class="stub"1-cosx
1+cosx

∴g（x）=cosx×f（sinx）+sinx×f（cosx）
=cosx×
class="stub"1-sinx
1+sinx
+sinx×
class="stub"1-cosx
1+cosx

=-
class="stub"1-sinx
1+sinx
•cos2x
-
class="stub"1-cosx
1+cosx
•sin2 x

=-
(1-sinx)2
-
(1-cosx)2

=-1+sinx-1+cosx
∴g（x）=-2+sinx+cosx
=
2
sin（x+class="stub"π
4
）-2
∴g（x）的最小正周期为class="stub"2π
1
=2π
由正弦函数的性质可知-class="stub"π
2
+2kπ＜x+class="stub"π
4
＜class="stub"π
2
+2kπ单调增
class="stub"π
2
+2kπ＜x+class="stub"π
4
＜class="stub"3π
2
+2kπ  （k∈Z）单调减，
∴g（x）在[-class="stub"3π
4
+2kπ，class="stub"π
4
+2kπ]上单调递增
[class="stub"π
4
+2kπ，class="stub"5π
4
+2kπ]k∈Z）上在单调递减
又x∈（π，class="stub"17
12
π]，
∴g（x）的单调区间为[π，class="stub"5π
4
]，[class="stub"5π
4
，class="stub"17
12
]，值域为（3，
2
+2]，

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