如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD(Ⅰ)证明:BD⊥PC;(Ⅱ)若AD=4,BC=2,直线PD与平面PAC所成的角为30°,求四棱锥P-A

题目简介

如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD(Ⅰ)证明:BD⊥PC;(Ⅱ)若AD=4,BC=2,直线PD与平面PAC所成的角为30°,求四棱锥P-A

题目详情

如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD
(Ⅰ)证明:BD⊥PC;
(Ⅱ)若AD=4,BC=2,直线PD与平面PAC所成的角为30°,求四棱锥P-ABCD的体积。
题型:解答题难度:中档来源:高考真题

答案

解:(Ⅰ)因为
是平面PAC内的两条相较直线,
所以BD平面PAC,
平面PAC,
所以
(Ⅱ)设AC和BD相交于点O,连接PO,由(Ⅰ)知,BD平面PAC,
所以是直线PD和平面PAC所成的角,
从而
由BD平面PAC,平面PAC,知
中,由
得PD=2OD
因为四边形ABCD为等腰梯形,
所以均为等腰直角三角形,
从而梯形ABCD的高为
于是梯形ABCD面积
在等腰三角形AOD中,
所以
故四棱锥的体积为

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