如图,在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中,E,F分别是AB′,BC′的中点.(1)若M为BB′的中点,证明:平面EMF∥平面ABCD.(2)求异面直线EF与AD′所成的角.-高二数学

题目简介

如图,在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中,E,F分别是AB′,BC′的中点.(1)若M为BB′的中点,证明:平面EMF∥平面ABCD.(2)求异面直线EF与AD′所成的角.-高二数学

题目详情

如图,在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中,E,F分别是AB′,BC′的中点. 
(1)若M为BB′的中点,证明:平面EMF∥平面ABCD.
(2)求异面直线EF与AD′所成的角.
题型:解答题难度:中档来源:四川省期中题

答案

解:(1)∵△ABB'中,E、M分别是AB'、BB'的中点,
∴EM∥AB
∵EM平面ABCD且AB?平面ABCD
∴EM∥平面ABCD,
同理可得FM∥平面ABCD,
∵EM、FM是平面EMF内的相交直线
∴平面EMF∥平面ABCD.  
(2)连接AC、CD'、B'C
∵△B'AC中,EF是中位线
∴EF∥AC,
可得∠D'AC或其补角即为EF与AD'所成的角
∵正方体ABCD﹣A'B'C'D'中,AD'、AC、CD'都是面上的对角线
∴设正方体棱长为a,则
AD'=AC=CD'= a
所以等边三角形ACD'中,∠D'AC=60°
∴异面直线EF与AD′所成的角60°

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