首页 > 在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，SB=25，SA=SC=23，M、N分别是AB、SB的中点；（1）证明：平面SAC⊥平面ABC；（2）求直线MN与平面SBC所成角的正弦值．-数学

在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，SB=25，SA=SC=23，M、N分别是AB、SB的中点；（1）证明：平面SAC⊥平面ABC；（2）求直线MN与平面SBC所成角的正弦值．-数学

题目简介

在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，SB=25，SA=SC=23，M、N分别是AB、SB的中点；（1）证明：平面SAC⊥平面ABC；（2）求直线MN与平面SBC所成角的正弦值．-数学

题目详情

在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，SB=2
5
，SA=SC=2
3
，M、N分别是AB、SB的中点；
（1）证明：平面SAC⊥平面ABC；
（2）求直线MN与平面SBC所成角的正弦值．360优课网
题型：解答题难度：中档来源：临沂二模

答案


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（1）证明：取AC中点D，连SD，BD，
∵SA=SC，∴SD⊥AC
∵△ABC是边长为4的正三角形，SB=2
5
，SA=SC=2
3
，
∴SD=2
2
，BD=2
3

∴SD⊥BD
∵AC∩BD=D
∴SD⊥平面ABC
∵SD⊂平面SAC
∴平面SAC⊥平面ABC；..（6分）
（2）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DS为z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），C（-2，0，0），B(0，2
3
，0)，S(0，0，2
2
)，M(1，
3
，0)，N(0，
3
，
2
)
∴
MN
=(-1，0，
2
)，
CS
=(2，0，2
2
)，
CB
=(2，2
3
，0)
设平面SCB的法向量为
n
=(x，y，z)，则有
2x+2
2
z=0
2x+2
3
y=0
，
令x=1，得到
n
=(1，-
3
3
，-
2
2
)…．…..（8分）
设直线MN与平面SBC所成角为θ，则sinθ=|cos＜
n
，
MN
＞|=
2
22
11
…..（12分）

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