如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠BCD=120°,BC⊥AB,CD⊥AD,BC=CD=PA=a,(Ⅰ)求证:平面PBD⊥平面PAC.(Ⅱ)求四棱锥P﹣ABCD的体积V.-高三数学

题目简介

如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠BCD=120°,BC⊥AB,CD⊥AD,BC=CD=PA=a,(Ⅰ)求证:平面PBD⊥平面PAC.(Ⅱ)求四棱锥P﹣ABCD的体积V.-高三数学

题目详情

如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠BCD=120°,BC⊥AB,CD⊥AD,BC=CD=PA=a,
(Ⅰ)求证:平面PBD⊥平面PAC.
(Ⅱ)求四棱锥P﹣ABCD的体积V.
题型:解答题难度:中档来源:广东省同步题

答案

解:(Ⅰ)连接AC,∵BC=CD,AB=AD,
∴AC⊥BD,
又PA⊥平面ABCD,且BD?平面ABCD
∴PA⊥BD          
  又PA∩AC=A, ∴BD⊥平面PAC            
  又BD?平面BDP ∴平面PBD⊥平面PAC       
(Ⅱ)依题意得∠CBD=∠CDB=30°,又BC⊥AB,CD⊥AD,所以∠DBA=∠BDA=60°
又BC=CD=a,
∴ 
∴△ABD是边长为 的正三角形  
 ∴ =
=
 

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