在某电视台举办的《上海世博会知识有奖问答比赛》中,甲、乙、丙三人同时回答一道问题,已知甲回答对这道题的概率是34,甲、丙两人都回答错的概率是112,乙、丙两人都回答对的-高二数学

题目简介

在某电视台举办的《上海世博会知识有奖问答比赛》中,甲、乙、丙三人同时回答一道问题,已知甲回答对这道题的概率是34,甲、丙两人都回答错的概率是112,乙、丙两人都回答对的-高二数学

题目详情

在某电视台举办的《上海世博会知识有奖问答比赛》中,甲、乙、丙三人同时回答一道问题,已知甲回答对这道题的概率是
3
4
,甲、丙两人都回答错的概率是
1
12
,乙、丙两人都回答对的概率是
1
4
,且三人答对这道题的概率互不影响.
(Ⅰ)求乙、丙两人各自回答对这道题的概率;
(Ⅱ)求答对该题的人数ξ的分布列和数学期望Eξ.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)∵甲回答对这道题的概率是class="stub"3
4
,甲、丙两人都回答错的概率是class="stub"1
12

乙、丙两人都回答对的概率是class="stub"1
4
,三人答对这道题的概率互不影响.
记“甲回答对这道题”、“乙回答对这道题”、
“丙回答对这道题”分别为事件A、B、C,
P(A)=class="stub"3
4

且有
P(
A
)•P(
C
)=class="stub"1
12
P(B)•P(C)=class="stub"1
4

[1-P(A)]•[1-P(C)]=class="stub"1
12
P(B)•P(C)=class="stub"1
4

P(B)=class="stub"3
8
,P(C)=class="stub"2
3

(Ⅱ)答对该题的人数ξ,ξ的可能取值:0,1,2,3,
根据相互独立事件的概率公式得到
P(ξ=0)=P(
.
A
.
B
.
C
)=class="stub"5
96

P(ξ=1)=P(A•
.
B
.
C
+
.
A
.
B
.
C
+
.
A
.
B
•C)=class="stub"7
24

P(ξ=2)=P(A•B•
.
C
+A•
.
B
•C+
.
A
•B•C)=class="stub"15
32

P(ξ=3)=P(A•B•C)=class="stub"3
16

∴ξ的分布列是

∴Eξ=1×class="stub"7
24
+2×class="stub"15
32
+3×class="stub"3
16
=class="stub"43
24

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