给出下列四个命题:①若|a|+|b|=0,则a=b=0;②在△ABC中,若OA+OB+OC=0,则O为△ABC的重心;③若a,b是共线向量,则a•b=|a|•|b|,反之也成立;④若a,b是非零向量,

题目简介

给出下列四个命题:①若|a|+|b|=0,则a=b=0;②在△ABC中,若OA+OB+OC=0,则O为△ABC的重心;③若a,b是共线向量,则a•b=|a|•|b|,反之也成立;④若a,b是非零向量,

题目详情

给出下列四个命题:
①若|
a
|+|
b
|=0,则
a
=
b
=
0

②在△ABC中,若
OA
+
OB
+
OC
=
0
,则O为△ABC的重心;
③若
a
b
是共线向量,则
a
b
=|
a
|•|
b
|,反之也成立;
④若
a
b
是非零向量,则
a
+
b
=
0
的充要条件是存在非零向量
c
,使
a
c
+
b
c
=
0

其中,正确命题的个数是(  )
A.1B.2C.3D.4
题型:单选题难度:偏易来源:不详

答案


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证明:①若|
a
|+|
b
|=0,则|
a
|=|
b
|=0,则
a
=
b
=
0

正确;
对于②:如图,延长AO到E,
使OE=AO,交BC于F,
OE
=-
OA

而由
OA
+
OB
+
OC
=0

OB
+
OC
=-
OA
,∴
OB
+
OC
=
OE

∴四边形OBEC为平行四边形.
∴OE平分BC,即AO所在的直线为△ABC的边BC上的中线.
同理可证,CO,BO所在的直线分别为AB,AC边上的中线.∴O为△ABC的重心.正确;
对于③:若
a
b
是共线向量,则它们的夹角θ为0或π,则
a
b
=|
a
|•|
b
|cosθ=±|
a
|•|
b
|,故③错;
④若
a
b
是非零向量,若存在非零向量
c
,使
a
c
+
b
c
=(
a
+
b
)•
c
=0,说明向量(
a
+
b
)与
c
垂直,并不能得出
a
+
b
=
0
,故错.
故选B.

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