首页 > 如图，四棱锥P-ABCD，PA⊥平面ABCD，且PA=4，底面ABCD为直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，AB=2，CD=1，AD=2，M，N分别为PD，PB的中点，平面MCN与PA交点为Q．（Ⅰ

如图，四棱锥P-ABCD，PA⊥平面ABCD，且PA=4，底面ABCD为直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，AB=2，CD=1，AD=2，M，N分别为PD，PB的中点，平面MCN与PA交点为Q．（Ⅰ

题目简介

如图，四棱锥P-ABCD，PA⊥平面ABCD，且PA=4，底面ABCD为直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，AB=2，CD=1，AD=2，M，N分别为PD，PB的中点，平面MCN与PA交点为Q．（Ⅰ

题目详情

如图，四棱锥P-ABCD，PA⊥平面ABCD，且PA=4，底面ABCD为直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，AB=2，CD=1，AD=
2
，M，N分别为PD，PB的中点，平面MCN与PA交点为Q．
（Ⅰ）求PQ的长度；
（Ⅱ）求截面MCN与底面ABCD所成二面角的正弦值；
（Ⅲ）求点A到平面MCN的距离．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（本小题满分14分）
（Ⅰ）由题意以A为坐标原点，AD，AB，AP为x，y，z正半轴，
建立空间直角坐标系，
则有：A（0，0，0）、D(
2
，0，0)、B（0，2，0）、
C(
2
，1，0)、P（0，0，4）、M(
2
2
，0，2)、N（0，1，2）．
设Q（0，0，a），由于Q∈平面MCN，
∴存在实数λ，μ，使得
CQ
=λ
CM
+μ
CN
，
即(-
2
，-1，a)=λ(-
2
2
，-1，2)+μ(-
2
，0，2)．
由
-
2
=-
2
2
λ-
2
μ
-1=-λ
，得：
λ=1
μ=class="stub"1
2
．
于是a=2λ+2μ=3，|
PQ
|=1．
∴PQ的长度是1．…（5分）
（Ⅱ）设平面MCN的法向量
n1
=(x，y，1)，
由
n1
•
CM
=(x，y，1)•(-
2
2
，-1，2)=-
2
2
x-y+2=0
n1
•
CN
=(x，y，1)•(-
2
，0，2)=-
2
x+2=0
，
取x=
2
，得
n1
=(
2
，1，1)．
由题意
n2
=(0，0，1)为平面ABCD的法向量．
于是，cos＜
n1
，
n2
＞=
n1
•
n2
|
n1
|•|
n2
|
=class="stub"1
2
．
∴截面MCN与底面ABCD所成二面角的正弦值为
3
2
．…（10分）
（Ⅲ）设点A到平面MCN的距离为d，
∵
AN
=(0，1，2)，平面MCN的法向量
n1
=（
2
，1，1），
∴d=
|
AN
•
n1
|
|
n1
|
=class="stub"3
2
．
∴点A到平面MCN的距离为class="stub"3
2
．…（14分）

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