首页 > 如图示，在底面为直角梯形的四棱椎P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=4，AD=2，AB=23，BC=6．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角A-PC-D的正

如图示，在底面为直角梯形的四棱椎P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=4，AD=2，AB=23，BC=6．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角A-PC-D的正

题目简介

如图示，在底面为直角梯形的四棱椎P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=4，AD=2，AB=23，BC=6．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角A-PC-D的正

题目详情

如图示，在底面为直角梯形的四棱椎P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=4，AD=2，AB=2
3
，BC=6．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角A-PC-D的正切值；
（3）求点D到平面PBC的距离．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）证明：令BD与AC相交于点O，
∵在底面为直角梯形的四棱椎P-ABCD中，
AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，
PA=4，AD=2，AB=2
3
，BC=6．
∴AC=
(2
3
)2+62
=4
3
，BD=
(2
3
)2+22
=4
∵AD∥BC，∴△AOD～△BOC，
∵class="stub"AD
BC
=class="stub"2
6
=class="stub"1
3
，∴BO=class="stub"3
4
×4=3，AO=class="stub"1
4
×4
3
=
3
，
∴BO2+AO2=（3）2+（
3
）2=12=AB2
∴由勾股定理得：BO⊥AC，即：BD⊥AC，又BD⊥PA，AC∩PA=A，
∴BD⊥平面PAC．（3分）
（2）由（1）知：DO⊥平面PAC，
过O作OH⊥PC于H，连DH，则DH⊥PC
则∠DHO就是二面角A-PC-D的平面角，DO=class="stub"1
4
×BD=class="stub"1
4
×4=1，
CO=class="stub"3
4
×AC=class="stub"3
4
×4
3
=3
3
，
在Rt△PAC和Rt△OHC中，
∵∠PAC=∠OHC，∠PCA=∠HCO，∴Rt△PAC～Rt△OHC，
∴class="stub"OH
PA
=class="stub"OC
PC
，又∵PC=
PA2+AC2
=8，OH=
3
3
2
．
∴tan∠DHO=class="stub"DO
OH
=
2
3
9
，
∴二面角A-PC-D的正切值为
2
3
9
．（7分）
（3）设点D到平面PBC的距离为h，
∵VD-PBC=VP-BDC，
∴class="stub"1
3
S△PBC•h=class="stub"1
3
S△BDC•PA=class="stub"1
3
•[class="stub"1
2
(2+6)•2
3
-class="stub"1
2
×2×2
3
]•4=8
3
，
∵BC=6，PB=
16+12
=2
7
，PC=
16+48
=8，
∴BC⊥PB，∴S△PBC=class="stub"1
2
×6×2
7
=6
7
，
∴h=
8
3
class="stub"1
3
×6
7
=
4
21
7
．
∴点D到平面PBC的距离为
4
21
7
．

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