已知函数f(x)=x2+2x+3x(x∈[2,+∞)),(1)证明函数f(x)为增函数;(2)求f(x)的最小值.-数学

题目简介

已知函数f(x)=x2+2x+3x(x∈[2,+∞)),(1)证明函数f(x)为增函数;(2)求f(x)的最小值.-数学

题目详情

已知函数f(x)=
x2+2x+3
x
(x∈[2,+∞))

(1)证明函数f(x)为增函数;
(2)求f(x)的最小值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)证明:将函数式化为:f(x)=x+class="stub"3
x
+2

任取x1,x2∈[2,+∞),且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=(x1+class="stub"3
x1
+2)-(x2+class="stub"3
x2
+2)
=(x1-x2)•
(x1x2-3)
x1x2

∵x1,x2∈[2,+∞),且x1<x2,
∴x1-x2<0,x1x2-3>0,x1x2>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
所以函数f(x)为增函数;
(2)由(1)知,f(x)在[2,+∞)上单调递增,
所以当x=2时,f(x)有最小值class="stub"11
2

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