首页 > 已知一次函数f（x）=ax+b与二次函数g（x）=ax2+bx+c满足a＞b＞c，且a+b+c=0（a，b，c∈R）．（1）求证：函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个不同的交点A，B；（2）设A

已知一次函数f（x）=ax+b与二次函数g（x）=ax2+bx+c满足a＞b＞c，且a+b+c=0（a，b，c∈R）．（1）求证：函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个不同的交点A，B；（2）设A

题目简介

已知一次函数f（x）=ax+b与二次函数g（x）=ax2+bx+c满足a＞b＞c，且a+b+c=0（a，b，c∈R）．（1）求证：函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个不同的交点A，B；（2）设A

题目详情

已知一次函数f（x）=ax+b与二次函数g（x）=ax2+bx+c满足a＞b＞c，且a+b+c=0（a，b，c∈R）．
（1）求证：函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个不同的交点A，B；
（2）设A1，B1是A，B两点在x轴上的射影，求线段A1B1长的取值范围；
（3）求证：当x≤-
3
时，f（x）＜g（x）恒成立．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）证明：由
y=ax+b
y=ax2+bx+c
得ax2+（b-a）x+c-b=0①
△=（b-a）2-4a（c-b）=（b+a）2-4ac
∵a＞b＞c，a+b+c=0
∴a＞0，c＜0
∴△＞0
∴①有两个不等的根
∴函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个不同的交点A，B．
（2）∵a+b+c=0且a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0．
由a＞b得a＞-（a+c），
∴class="stub"c
a
＞-2．
由b＞c得-（a+c）＞c，
∴class="stub"c
a
＜-class="stub"1
2
．
∴-2＜class="stub"c
a
＜-class="stub"1
2
．
设A1（x1，0）B1（x2，0）
∴|A1B1|=|x2-x1|  =
(x2+x1)2-4x1x2

=
(class="stub"a-b
a
)2-4class="stub"c-b
a
=
(class="stub"c
a
-2) 2-4
，
易得class="stub"9
4
＜|A1B1|2＜12
即class="stub"3
2
＜|A1B1|＜2
3
．
（3）令h（x）=ax2+（b-a）x+c-b，x≤-
3
，
对称轴为x=class="stub"a-b
a
=class="stub"2a+c
a
=2+class="stub"c
a
＞0，
∴h（x）在（-∞，-
3
）上单调递增，且h（-
3
）=（2+
3
）（2a+c）=（2+
3
）a（2+class="stub"c
a
）＞0
∴h（x）=ax2+（b-a）x+c-b≥0恒成立，x≤-
3
，
即当x≤-
3
时，f（x）＜g（x）恒成立．

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