首页 > 已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），双曲线x2a2-y2b2=1的两条渐近线为l1、l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下

已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），双曲线x2a2-y2b2=1的两条渐近线为l1、l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下

题目简介

已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），双曲线x2a2-y2b2=1的两条渐近线为l1、l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下

题目详情

已知椭圆C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的两条渐近线为l1、l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B．（如图）
（1）当l1与l2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程；
（2）当
FA
=λ
AP
时，求λ的最大值．360优课网
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵双曲线的渐近线为y=±class="stub"b
a
x，两渐近线夹角为60°，
又class="stub"b
a
＜1，∴∠POx=30°，即class="stub"b
a
=tan30°=
3
3
．
∴a=
3
b．
又a2+b2=4，
∴a2=3，b2=1．
故椭圆C的方程为
x2
3
+y2=1．
（2）由已知l：y=class="stub"a
b
（x-c），与y=class="stub"b
a
x解得P（
a2
c
，class="stub"ab
c
），
由
FA
=λ
AP
得A（
c+λ•
a2
c
1+λ
，
λ•class="stub"ab
c
1+λ
）．
将A点坐标代入椭圆方程得（c2+λa2）2+λ2a4=（1+λ）2a2c2．
∴（e2+λ）2+λ2=e2（1+λ）2．
∴λ2=
e4-e2
e2-2
=-[（2-e2）+class="stub"2
2-e2
]+3≤3-2
2
．
∴λ的最大值为
2
-1．

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