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已知函数，．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若对任意正实数x，不等式恒成立，求实数k的值；（Ⅲ）求证：．（其中）-高二数学

题目简介

已知函数，．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若对任意正实数x，不等式恒成立，求实数k的值；（Ⅲ）求证：．（其中）-高二数学

题目详情

已知函数

，

．
（Ⅰ）求函数

的单调区间；
（Ⅱ）若对任意正实数x，不等式

恒成立，求实数k的值；
（Ⅲ）求证：

．（其中

）

题型：解答题难度：偏易来源：不详

答案

（Ⅰ）单调递减区间为

，单调递增区间为

（Ⅱ）

（Ⅲ）利用放缩不等式可以证明，或用数学归纳法证明

试题分析：(Ⅰ)易知函数的定义域为

，

；
(Ⅱ)解法一：

综上：

；
解法二：

由题意

，

，

(Ⅲ)证法一：

，并累加得：

证法二：数学归纳法（略）
点评：用导数研究函数的单调性、极值、最值等性质时，不要忘记先求函数的定义域，用放缩法证明不等式时，要注意放缩的力度要恰当，如果用数学归纳法证明，需要严格按步骤进行.

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