如图，以⊙O上一点O1为圆心作圆和⊙O相交于A，B两点，过A作直线CD交⊙O于C，交⊙O1于D．CB交⊙O1于E，AB与CO交于F．求证：（1）AC•BC=CF2+AF•BF；（2）∠CDB=∠CBD

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如图，以⊙O上一点O₁为圆心作圆和⊙O相交于A，B两点，过A作直线CD交⊙O于C，交⊙O₁于D．CB交⊙O₁于E，AB与CO交于F．
求证：（1）AC•BC=CF²+AF•BF；
（2）∠CDB=∠CBD．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

证明：（1）连接O1A，O1B，则O1A=O1B，
∴

O1A

O1B

，
∴∠ACF=∠BCF，
∵∠CAB=∠CO1B，
∴△AFC∽△O1BC，
∴class="stub"AC

O1C

=class="stub"CF

，
∴AC•BC=O1C•CF=（O1F+CF）•CF=CF2+O1F•CF，
∵AF•BF=O1F•CF，
∴AC•BC=CF2+AF•BF；

（2）连接O1D，则O1D=O1B=O1A，
∴∠O1DB=∠O1BD，∠O1DA=∠O1AD，
∵∠O1AD=∠CBO1，
∴∠O1DA=∠CBO1，
∴∠O1DA+∠O1DB=∠O1BD+∠CBO1，即∠CDB=∠CBD．

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如图，以⊙O上一点O1为圆心作圆和⊙O相交于A，B两点，过A作直线CD交⊙O于C，交⊙O1于D．CB交⊙O1于E，AB与CO交于F．求证：（1）AC•BC=CF2+AF•BF；（2）∠CDB=∠CBD

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