首页 > 已知函数f(x)=-13x3+a2x2-2x（a∈R）．（1）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；（2）若对于任意x∈[1，+∞）都有f'（x）＜2（a-1）成立，求实数a的取值范围；（3

已知函数f(x)=-13x3+a2x2-2x（a∈R）．（1）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；（2）若对于任意x∈[1，+∞）都有f'（x）＜2（a-1）成立，求实数a的取值范围；（3

题目简介

已知函数f(x)=-13x3+a2x2-2x（a∈R）．（1）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；（2）若对于任意x∈[1，+∞）都有f'（x）＜2（a-1）成立，求实数a的取值范围；（3

题目详情

已知函数f(x)=-
1
3
x3+
a
2
x2-2x（a∈R）．
（1）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若对于任意x∈[1，+∞）都有f'（x）＜2（a-1）成立，求实数a的取值范围；
（3）若过点(0，-
1
3
)可作函数y=f（x）图象的三条不同切线，求实数a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：广州模拟

答案

（1）当a=3时，f(x)=-class="stub"1
3
x3+class="stub"3
2
x2-2x，得f'（x）=-x2+3x-2．…（1分）
因为f'（x）=-x2+3x-2=-（x-1）（x-2），
所以当1＜x＜2时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x＜1或x＞2时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减．
所以函数f（x）的单调递增区间为（1，2），单调递减区间为（-∞，1）和（2，+∞）．…（3分）
（2）方法1：由f(x)=-class="stub"1
3
x3+class="stub"a
2
x2-2x，得f'（x）=-x2+ax-2，
因为对于任意x∈[1，+∞）都有f'（x）＜2（a-1）成立，
即对于任意x∈[1，+∞）都有-x2+ax-2＜2（a-1）成立，
即对于任意x∈[1，+∞）都有x2-ax+2a＞0成立，…（4分）
令h（x）=x2-ax+2a，
要使对任意x∈[1，+∞）都有h（x）＞0成立，
必须满足△＜0或
△≥0
class="stub"a
2
≤1
h(1)＞0.
…（5分）
即a2-8a＜0或
a2-8a≥0
class="stub"a
2
≤1
1+a＞0.
…（6分）
所以实数a的取值范围为（-1，8）．…（7分）
方法2：由f(x)=-class="stub"1
3
x3+class="stub"a
2
x2-2x，得f'（x）=-x2+ax-2，
因为对于任意x∈[1，+∞）都有f'（x）＜2（a-1）成立，
所以问题转化为，对于任意x∈[1，+∞）都有[f'（x）]max＜2（a-1）．…（4分）
因为f′(x)=-(x-class="stub"a
2
)2+
a2
4
-2，其图象开口向下，对称轴为x=class="stub"a
2
．
①当class="stub"a
2
＜1时，即a＜2时，f'（x）在[1，+∞）上单调递减，
所以f'（x）max=f'（1）=a-3，
由a-3＜2（a-1），得a＞-1，此时-1＜a＜2．…（5分）
②当class="stub"a
2
≥1时，即a≥2时，f'（x）在[1，class="stub"a
2
]上单调递增，在(class="stub"a
2
，+∞)上单调递减，
所以f′(x)max=f′(class="stub"a
2
)=
a2
4
-2，
由
a2
4
-2＜2(a-1)，得0＜a＜8，此时2≤a＜8．…（6分）
综上①②可得，实数a的取值范围为（-1，8）．…（7分）
（3）设点P(t，-class="stub"1
3
t3+class="stub"a
2
t2-2t)是函数y=f（x）图象上的切点，
则过点P的切线的斜率为k=f'（t）=-t2+at-2，…（8分）
所以过点P的切线方程为y+class="stub"1
3
t3-class="stub"a
2
t2+2t=(-t2+at-2)(x-t)．…（9分）
因为点(0，-class="stub"1
3
)在切线上，
所以-class="stub"1
3
+class="stub"1
3
t3-class="stub"a
2
t2+2t=(-t2+at-2)(0-t)，
即class="stub"2
3
t3-class="stub"1
2
at2+class="stub"1
3
=0．…（10分）
若过点(0，-class="stub"1
3
)可作函数y=f（x）图象的三条不同切线，
则方程class="stub"2
3
t3-class="stub"1
2
at2+class="stub"1
3
=0有三个不同的实数解．…（11分）
令g(t)=class="stub"2
3
t3-class="stub"1
2
at2+class="stub"1
3
，则函数y=g（t）与t轴有三个不同的交点．
令g'（t）=2t2-at=0，解得t=0或t=class="stub"a
2
．…（12分）
因为g(0)=class="stub"1
3
，g(class="stub"a
2
)=-class="stub"1
24
a3+class="stub"1
3
，
所以必须g(class="stub"a
2
)=-class="stub"1
24
a3+class="stub"1
3
＜0，即a＞2．…（13分）
所以实数a的取值范围为（2，+∞）．…（14分）

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