首页 > 已知函数f(x)=4sinxsin2(π4+x2)+cos2x-1．（1）设ω＞0为常数，若y=f(ωx)在区间[-π2，2π3]上是增函数，求ω的取值范围；（2）设集合A={x|π6≤x≤2π3}，

已知函数f(x)=4sinxsin2(π4+x2)+cos2x-1．（1）设ω＞0为常数，若y=f(ωx)在区间[-π2，2π3]上是增函数，求ω的取值范围；（2）设集合A={x|π6≤x≤2π3}，

题目简介

已知函数f(x)=4sinxsin2(π4+x2)+cos2x-1．（1）设ω＞0为常数，若y=f(ωx)在区间[-π2，2π3]上是增函数，求ω的取值范围；（2）设集合A={x|π6≤x≤2π3}，

题目详情

已知函数f(x)=4sinxsin2(
π
4
+
x
2
)+cos2x-1．
（1）设ω＞0为常数，若y=f(ωx)在区间[-
π
2
，
2π
3
]上是增函数，求ω的取值范围；
（2）设集合A={x|
π
6
≤x≤
2π
3
}，B={x|[
1
2
f(x)]2-mf(x)+m2+m-1＞0}，若A⊂B恒成立，求实数m的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（本小题满分14分）
（1）f(x)=4sinx•
1-cos(class="stub"π
2
+x)
2
+cos2x-1=2sinx（1+sinx）-2sin2x=2sinx．
∵f(ωx)=2sinωx在[-class="stub"π
2
，class="stub"2π
3
]是增函数，
∴[-class="stub"π
2
，class="stub"2π
3
]⊆[-class="stub"π
2ω
，class="stub"π
2ω
]⇒class="stub"2π
3
≤class="stub"π
2ω
，∴ω∈(0，class="stub"3
4
]

（2）[class="stub"1
2
f(x)]2-mf(x)+m2+m-1
=sin2x-2msinx+m2+m-1＞0
因为x∈[class="stub"π
6
，class="stub"2π
3
]，设sinx=t，则t∈[class="stub"1
2
，1]
上式化为t2-2mt+m2+m-1＞0
由题意，上式在t∈[class="stub"1
2
，1]上恒成立．
记f（t）=t2-2mt+m2+m-1，
这是一条开口向上抛物线，
则
m＜class="stub"1
2
f(class="stub"1
2
)＞0

或
class="stub"1
2
≤m≤1
△＜0

或
m＞1
f(1)＞0

解得：m＜-
3
2
或m＞1．

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