首页 > 已知函数f（x）=（sinωx-cosωx）2+2sin2ωx（ω＞0）的周期为23π．（Ⅰ）求函数y=f（x）在[0，π3]上的值域；（Ⅱ）求最小的正实数ϕ，使得y=f（x）的函数图象向右平移ϕ个单

已知函数f（x）=（sinωx-cosωx）2+2sin2ωx（ω＞0）的周期为23π．（Ⅰ）求函数y=f（x）在[0，π3]上的值域；（Ⅱ）求最小的正实数ϕ，使得y=f（x）的函数图象向右平移ϕ个单

题目简介

已知函数f（x）=（sinωx-cosωx）2+2sin2ωx（ω＞0）的周期为23π．（Ⅰ）求函数y=f（x）在[0，π3]上的值域；（Ⅱ）求最小的正实数ϕ，使得y=f（x）的函数图象向右平移ϕ个单

题目详情

已知函数f（x）=（sinωx-cosωx）2+2sin2ωx（ω＞0）的周期为
2
3
π．
（Ⅰ） 求函数y=f（x）在[0，
π
3
]上的值域；
（Ⅱ）求最小的正实数ϕ，使得y=f（x）的函数图象向右平移ϕ个单位后所对应的函数为偶函数．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

f（x）=（sinωx-cosωx）2+2sin2ωx=1-2sinωxcosωx+（1-cos2ωx）
=2-sin2ωx-cos2ωx=2-
2
sin（2ωx+class="stub"π
4
）
由T=class="stub"2π
3
，得到|ω|=class="stub"3
2
，又ω＞0，
∴ω=class="stub"3
2
，
则f（x）=2-
2
sin（3x+class="stub"π
4
），
（Ⅰ）由0≤x≤class="stub"π
3
⇒class="stub"π
4
≤3x+class="stub"π
4
≤class="stub"5π
4
⇒-
2
2
≤sin(3x+class="stub"π
4
)≤1
则函数y=f（x）在[0，class="stub"π
3
]上的值域为[2-
2
，3]；
（Ⅱ）∵y=f（x）的函数图象向右平移ϕ个单位后所对应的函数为：
g(x)=2-
2
sin[3(x-ϕ)+class="stub"π
4
]
则y=g（x）为偶函数，则有3(-ϕ)+class="stub"π
4
=kπ+class="stub"π
2
(k∈Z)
则φ=-class="stub"k
3
π-class="stub"π
12
（k∈Z），又因为φ＞0，
∴满足条件的最小正实数φ=class="stub"π
4
．

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