设A,B,C∈(0,π2),且sinA-sinC=sinB,cosA+cosC=cosB,则B-A等于______.-数学

题目简介

设A,B,C∈(0,π2),且sinA-sinC=sinB,cosA+cosC=cosB,则B-A等于______.-数学

题目详情

设A,B,C∈(0,
π
2
),且sinA-sinC=sinB,cosA+cosC=cosB,则B-A等于______.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

∵sinA-sinC=sinB,cosA+cosC=cosB,
∴sinC=sinA-sinB,cosC=cosB-cosA,
又sin2C+cos2C=1,
∴(sinA-sinB)2+(cosB-cosA)2=1,
即sin2A-2sinAsinB+sin2B+cos2B-2cosAcosB+cos2A=1,
整理得:cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB=class="stub"1
2

由正弦定理化简sinC=sinA-sinB得:c=a-b>0,即a>b,
又A,B,C∈(0,class="stub"π
2
),
∴0<A-B<class="stub"π
2

则A-B=class="stub"π
3
,即B-A=-class="stub"π
3

故答案为:-class="stub"π
3

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