设函数f(x)=-ax2+1+x+a,x∈(0,1],其中a>0.(1)若f(x)在(0,1]上是增函数,求a的取值范围;(2)求f(x)在(0,1]上的最大值.-数学

题目简介

设函数f(x)=-ax2+1+x+a,x∈(0,1],其中a>0.(1)若f(x)在(0,1]上是增函数,求a的取值范围;(2)求f(x)在(0,1]上的最大值.-数学

题目详情

设函数f(x)=-a
x2+1
+x+a,x∈(0,1],其中a>0

(1)若f(x)在(0,1]上是增函数,求a的取值范围;
(2)求f(x)在(0,1]上的最大值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)当x∈(0,1]时,f'(x)=-a•class="stub"x
x2+1
+1,∵f'(x)在(0,1]上是增函数,∴f'(x)≥0在(0,1]上恒成立.即a≤
x2+1
x
=
1+class="stub"1
x2
在(0,1
]上恒立,而0<x≤1时,
1+class="stub"1
x2
2
,∴0<a≤
2

(2)由(1)知
①当0<a≤
2
时,f(x)在(0,1
]上是增函数,∴[f(x)]max=f(1)=(-
2
-1)a+1
②当a>
2
时,令f′(x)=0,x=
class="stub"1
a2-1
∈(0,1
],∴0<x<
class="stub"1
a2-1
时f'(x)>0
class="stub"1
a2-1
<x≤1时f'(x)<0,∴[f(x)]max=f(
class="stub"1
a2-1
)=a-
a2-1

综上知,当0<a≤
2
时,[f(x)]max=-(
2
-1)a+1;当a>
2
时,[f(x)]max=a-
a2-1

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