已知函数f(x)=x+2x.(1)求证:函数f(x)在区间[2,+∞)上是增函数;(2)设集合M={y|y=f(x)-x,x∈[-1,0)∪(0,2]},求集合M.-数学

题目简介

已知函数f(x)=x+2x.(1)求证:函数f(x)在区间[2,+∞)上是增函数;(2)设集合M={y|y=f(x)-x,x∈[-1,0)∪(0,2]},求集合M.-数学

题目详情

已知函数f(x)=x+
2
x

(1)求证:函数f(x)在区间[2,+∞)上是增函数;
(2)设集合M={y|y=f(x)-x,x∈[-1,0)∪(0,2]},求集合M.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)证明:∵f′(x)=1-class="stub"2
x2
,又x∈[2,+∞),
∴0<class="stub"2
x2
class="stub"1
2
,-class="stub"1
2
≤-class="stub"2
x2
<0,class="stub"1
2
≤1-class="stub"2
x2
<1,
即f′(x)≥class="stub"1
2
>0,
∴函数f(x)在区间[2,+∞)上是增函数;
(2)∵|y=f(x)-x=class="stub"2
x
,在(-∞,0),(0,+∞)为减函数,又x∈[-1,0)∪(0,2],
∴y≤-2或y≥1.
∴M={y|y≤-2或y≥1}.

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