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证明不等式1+12+13+…+1n＜2n（n∈N*）-数学

题目简介

证明不等式1+12+13+…+1n＜2n（n∈N*）-数学

题目详情

证明不等式1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＜2
n
（n∈N*）
题型：解答题难度：中档来源：云南

答案

证法一：（1）当n=1时，不等式左端=1，右端=2，所以不等式成立；
（2）假设n=k（k≥1）时，不等式成立，即1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+…+class="stub"1
k
＜2
k
，
则
1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+…+class="stub"1
k+1
＜2
k
+class="stub"1
k+1

=
2
k(k+1)
+1
k+1
＜
k+(k+1)+1
k+1
=2
k+1
，

∴当n=k+1时，不等式也成立．
综合（1）、（2）得：当n∈N*时，都有1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+…+class="stub"1
n
＜2
n
．
证法二：设f（n）=2
n
-(1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+…+class="stub"1
n
)，
那么对任意k∈N* 都有：
f(k+1)-f(k)=2(
k+1
-
k
)-class="stub"1
k+1

=class="stub"1
k+1
[2(k+1)-2
k(k+1)
-1]

=class="stub"1
k+1
•[(k+1)-2
k(k+1)
+k]=
(
k+1
-
k
)2
k+1
＞0

∴f（k+1）＞f（k）
因此，对任意n∈N* 都有f（n）＞f（n-1）＞…＞f（1）=1＞0，
∴1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+…+class="stub"1
n
＜2
n
．

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