已知,.(1)当n=1,2,3时,分别比较f(n)与g(n)的大小(直接给出结论);(2)由(1)猜想f(n)与g(n)的大小关系,并证明你的结论.-高三数学

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已知,.(1)当n=1,2,3时,分别比较f(n)与g(n)的大小(直接给出结论);(2)由(1)猜想f(n)与g(n)的大小关系,并证明你的结论.-高三数学

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已知
(1)当n=1,2,3时,分别比较f(n)与g(n)的大小(直接给出结论);
(2)由(1)猜想f(n)与g(n)的大小关系,并证明你的结论.
题型:解答题难度:中档来源:期末题

答案

解:(1)当n=1时,f(1)=1,,f(1)>g(1),
当n=2时,,f(2)>g(2),
当n=3时,,g(3)=2,f(3)>g(3).
(2)猜想:f(n)>g(n)(n∈N*),即
下面用数学归纳法证明:
①当n=1时,上面已证.
②假设当n=k时,猜想成立,即
则当n=k+1时,=

下面转化为证明:
只要证:
需证:(2k+3)2>4(k+2)(k+1),
即证:4k2+12k+9>4k2+12k+8,此式显然成立.
所以,当n=k+1时猜想也成立.
综上可知:对n∈N*,猜想都成立,即成立.

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