首页 > 设a＞2，给定数列{xn}，其中x1=a，xn+1=x2n2(xn-1)(n=1，2…)求证：（1）xn＞2，且xn+1xn＜1(n=1，2…)；（2）如果a≤3，那么xn≤2+12n-1(n=1，2

设a＞2，给定数列{xn}，其中x1=a，xn+1=x2n2(xn-1)(n=1，2…)求证：（1）xn＞2，且xn+1xn＜1(n=1，2…)；（2）如果a≤3，那么xn≤2+12n-1(n=1，2

题目简介

设a＞2，给定数列{xn}，其中x1=a，xn+1=x2n2(xn-1)(n=1，2…)求证：（1）xn＞2，且xn+1xn＜1(n=1，2…)；（2）如果a≤3，那么xn≤2+12n-1(n=1，2

题目详情

设a＞2，给定数列{xn}，其中x1=a，xn+1=
x2n
2(xn-1)
(n=1，2…)求证：
（1）xn＞2，且
xn+1
xn
＜1(n=1，2…)；
（2）如果a≤3，那么xn≤2+
1
2n-1
(n=1，2…)．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

证明：（1）①当n=1时，
∵x2=
x12
2(x1-1)
=x1+
(2-x1)x1
2(x1-1)
，
x2=
x12
2(x1-1)
=
4(x1-1)+x12 -4x1+4
2(x1-1)
=2+
(x1-2)2
2(x1-1)
，x1=a＞2，
∴2＜x2＜x1．
结论成立．
②假设n=k时，结论成立，即2＜xk+1＜xk（k∈N+），
则xk+2=
xk+12
2(xk+1-1)
=xk+1+
(2-xk+1)xk+1
2(xk+1-1)
＞xk+1，
xk+2=
xk+12
2(xk+1-1)
=2+
(xk+1-2)2
2(xk+1-1)
＞2．
∴2＜xk+2＜xk+1，
综上所述，由①②知2＜xn+1＜xn．
∴x n＞2且
xn+1
xn
＜1．
（2）由条件x1=a≤3知不等式当n=1时成立
假设不等式当n=k（k≥1）时成立
当n=k+1时，由条件及xk＞2知xk+1≤1+class="stub"1
2k
⇔
x2k
≤2(xk-1)(2+class="stub"1
2k
)
⇔
x2k
-2(2+class="stub"1
2k
)xk+2(2+class="stub"1
2k
)≤0
⇔(xk-2)[xk-(2+class="stub"1
2k-1
)]≤0，
再由xk＞2及归纳假设知，
上面最后一个不等式一定成立，
所以不等式xk+1≤2+class="stub"1
2k
也成立，
从而不等式xn≤2+class="stub"1
2n-1
对所有的正整数n成立

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网