已知函数f（x）=x﹣﹣2lnx在定义域是单调函数，f′（x）是函数f（x）的导函数．（1）求实数m的取值范围；（2）当m取得最小值时，数列{an}满足：a1=m+3，an+1=f′（）﹣nan+1，

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已知函数f（x）=x﹣﹣2lnx在定义域是单调函数，f′（x）是函数f（x）的导函数．
（1）求实数m的取值范围；
（2）当m取得最小值时，数列{a_n}满足：a₁=m+3，a_n+1=f′（）﹣na_n+1，n∈N*．
试证：
①a_n＞n+2；
②+++…+＜．

题型：解答题难度：偏难来源：四川省同步题

答案

解：（1）∵f′（x）=，令h（x）=x2﹣2x+m，△=（﹣2）2﹣4m，
当△≤0，即m≥1时，f′（x）≥0恒成立，f（x）单调递增；
当△＞0，即m＜1时，f′（x）的符号不确定（或大于0，或小于0），
f（x）在定义域内不单调，
∴当f（x）单调递增时，m≥1；当m＜1时，f（x）在定义域内不单调．
∴实数m的取值范围为[1，+∞）；
（2）∵m≥1，
∴当m取得最小值时m=1，
∴a1=3+m=4，
又an+1=f′（）﹣nan+1，n∈N*．
∴an+1=an2﹣nan+1
①用数学归纳法证明：
（I）当n=1时，a1=4＞3=1+2，不等式成立；
（II）假设当n=k时，不等式成立，即ak＞k+2，
那么，ak+1=ak（ak﹣k）+1＞（k+2）（k+2﹣k）+1≥k+3，
也就是说，当n=k+1时，ak+1＞（k+1）+2，
根据（I）和（II），对于所有n≥1，有an≥n+2．
②由an+1=an（an﹣n）+1及①，对k≥2，有
ak=ak﹣1（ak﹣1﹣k+1）+1≥ak﹣1（k﹣1+2﹣k+1）+1=2ak﹣1+1
∵1+ak≥2（ak﹣1+1），
由等比数列的通项公式可得：ak≥2k﹣1（a1+1）﹣1，
于是＜（k≥2），
∴++…+＜＜==．

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已知函数f（x）=x﹣﹣2lnx在定义域是单调函数，f′（x）是函数f（x）的导函数．（1）求实数m的取值范围；（2）当m取得最小值时，数列{an}满足：a1=m+3，an+1=f′（）﹣nan+1，

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