各项都为正数的数列{an}，满足a1=1，an+12-an2=2．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）证明1a1+1a2+…+1an≤2n-1对一切n∈N+恒成立．-数学

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各项都为正数的数列{a_n}，满足a₁=1，a_n+1²-a_n²=2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明

+…+

≤

2n-1

对一切n∈N⁺恒成立．

题型：解答题难度：中档来源：石家庄二模

答案

（Ⅰ）∵an+12-an2=2，∴an2为首项为1，公差为2的等差数列，
∴an2=1+（n-1）×2=2n-1，又an＞0，则an=

2n-1

（Ⅱ）只需证：1+class="stub"1

+…+class="stub"1

2n-1

≤

2n-1

．
1当n=1时，左边=1，右边=1，所以命题成立．
当n=2时，左边＜右边，所以命题成立
②假设n=k时命题成立，即1+class="stub"1

+…+class="stub"1

-1

≤

2k-1

，
当n=k+1时，左边=1+class="stub"1

+…+class="stub"1

2K-1

+class="stub"1

2K+1

≤

2K-1

+class="stub"1

2K+1

．
＜

2K-1

+class="stub"2

2K+1

2K-1

2K+1

2K-1

)

2(K+1)-1

．命题成立
由①②可知，class="stub"1

+class="stub"1

+…+class="stub"1

≤

2n-1

对一切n∈N+恒成立．

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各项都为正数的数列{an}，满足a1=1，an+12-an2=2．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）证明1a1+1a2+…+1an≤2n-1对一切n∈N+恒成立．-数学

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