已知函数f（x）是在（0，+∞）上每一点处均可导的函数，若xf'（x）＞f（x）在（0，+∞）上恒成立．（1）①求证：函数在（0，+∞）上是增函数；②当x1＞0，x2＞0时，证明：f（x1）

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已知函数f（x）是在（0，+∞）上每一点处均可导的函数，若xf'（x）＞f（x）在（0，+∞）上恒成立．
（1）①求证：函数在（0，+∞）上是增函数；
②当x₁＞0，x₂＞0时，证明：f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）；
（2）已知不等式ln（x+1）＜x在x＞﹣1且x≠0时恒成立，求证：…．

题型：解答题难度：偏难来源：山东省月考题

答案

解：（1）①∵，
∴
∵xf'（x）＞f（x），
∴g'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
从而有在（0，+∞）上是增函数．
②由①知在（0，+∞）上是增函数，
当x1＞0，x2＞0时，有，
于是有：，
两式相加得：f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）
（2）由（1）②可知：f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2），（x1＞0，x2＞0）恒成立
由数学归纳法可知：xi＞0（i=1，2，3，…，n）时，有：
f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（xn）＜f（x1+x2+x3+…xn）（n≥2）恒成立
设f（x）=xlnx，则，则xi＞0（i=1，2，3，…，n）时，
x1lnx1+x2lnx2+…+xnlnxn＜（x1+x2+…+xn）ln（x1+x2+…+xn）（n≥2）（*）恒成立
令，记
又，
又，
且ln（x+1）＜x
∴（x1+x2+…+xn）ln（x1+x2+…+xn）＜（x1+x2+…+xn）ln（1﹣）
＜﹣（x1+x2+…+xn）＜﹣（﹣）=﹣ （**）
将（**）代入（*）中，可知：
﹣（）
于是，

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已知函数f（x）是在（0，+∞）上每一点处均可导的函数，若xf&#039;（x）＞f（x）在（0，+∞）上恒成立．（1）①求证：函数在（0，+∞）上是增函数；②当x1＞0，x2＞0时，证明：f（x1）

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