函数数列{fn（x）}满足：f1(x)=x1+x2(x＞0)，fn+1（x）=f1[fn（x）]（1）求f2（x），f3（x）；（2）猜想fn（x）的表达式，并证明你的结论．-数学

题目简介

函数数列{f_n（x）}满足：f1(x)=

1+x2

(x＞0)，f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]
（1）求f₂（x），f₃（x）；
（2）猜想f_n（x）的表达式，并证明你的结论．

题型：解答题难度：中档来源：不详

（1）f2(x)=f1(f1(x))=

f1(x)

(x)

=class="stub"x

1+2x2

f3(x)=f1(f2(x))=

f2(x)

(x)

=class="stub"x

1+3x2

（2）猜想：fn(x)=class="stub"x

1+nx2

(n∈N*)
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，f1(x)=class="stub"x

1+x2

2，已知，显然成立
②假设当n=K（K∈N*）4时，猜想成立，即fk(x)=class="stub"x

1+kx2

则当n=K+1时，fk+1(x)=f1(fk(x))=

fk(x)

(x)

class="stub"x

1+kx2

1+(class="stub"x

1+kx2

=class="stub"x

1+(k+1)x2

即对n=K+1时，猜想也成立．
结合①②可知：猜想fn(x)=class="stub"x

1+nx2

对一切n∈N*都成立．