已知数列{an}的各项都是正数,且满足:a0=1,an+1=12an•(4-an),n∈N.(1)求a1,a2;(2)证明an<an+1<2,n∈N.-数学

题目简介

已知数列{an}的各项都是正数,且满足:a0=1,an+1=12an•(4-an),n∈N.(1)求a1,a2;(2)证明an<an+1<2,n∈N.-数学

题目详情

已知数列{an}的各项都是正数,且满足:a0=1,an+1=
1
2
an•(4-an),n∈N

(1)求a1,a2
(2)证明an<an+1<2,n∈N.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)a0=1,a1=class="stub"1
2
a0(4-a0)=class="stub"3
2
a2=class="stub"1
2
a1(4-a1)=class="stub"15
8

(2)用数学归纳法证明:
1°当n=0时,a0=1,a1=class="stub"3
2
,∴a0<a1<2,命题正确.
2°假设n=k时,有ak-1<ak<2.
则n=k+1时,ak-ak+1=class="stub"1
2
ak-1(4-ak-1)-class="stub"1
2
ak(4-ak)
=2(ak-1-ak)-class="stub"1
2
(ak-1-ak)(ak-1+ak)=class="stub"1
2
(ak-1-ak)(4-ak-1-ak)

而ak-1-ak<0,4-ak-1-ak>0,∴ak-ak-1<0.
ak+1=class="stub"1
2
ak(4-ak)=class="stub"1
2
[4-(ak-2)2]<2
,∴n=k+1时命题正确.
由1°、2°知,对一切n∈N,有an<an+1<2.

更多内容推荐