如右图,扇形OAB的半径为1,中心角60°,四边形PQRS是扇形的内接矩形,当其面积最大时,求点P的位置,并求此最大面积.-高三数学

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如右图,扇形OAB的半径为1,中心角60°,四边形PQRS是扇形的内接矩形,当其面积最大时,求点P的位置,并求此最大面积.-高三数学

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如右图,扇形OAB的半径为1,中心角60°,四边形PQRS是扇形的内接矩形,当其面积最大时,求点P的位置,并求此最大面积.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

P的中点,P(),最大面积是
OAx O为原点,建立平面直角坐标系,
并设P的坐标为(cosθ,sinθ),则
PS|=sinθ 直线OB的方程为y=x,直线PQ的方程为y=sinθ 联立解之得Q(sinθ;sinθ),所以|PQ|=cosθsinθ 
于是SPQRS=sinθ(cosθsinθ)
=(sinθcosθ-sin2θ)=(sin2θ)
=(sin2θ+cos2θ)=sin(2θ+)- 
∵0<θ,∴<2θ+π ∴<sin(2θ+)≤1 
∴sin(2θ+)=1时,PQRS面积最大,且最大面积是
此时,θ=,点P的中点,P().

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