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设函数f(x)对所有的实数x都满足f(x+2π)=f(x)，求证：存在4个函数fi(x)(i=1，2，3，4)满足：（1）对i=1，2，3，4，fi(x)是偶函数，且对任意的实数x，有fi(x+π)=

题目简介

设函数f(x)对所有的实数x都满足f(x+2π)=f(x)，求证：存在4个函数fi(x)(i=1，2，3，4)满足：（1）对i=1，2，3，4，fi(x)是偶函数，且对任意的实数x，有fi(x+π)=

题目详情

设函数f(x)对所有的实数x都满足f(x+2π)=f(x)，求证：存在4个函数f_i(x)(i=1，2，3，4)满足：（1）对i=1，2，3，4，f_i(x)是偶函数，且对任意的实数x，有f_i(x+π)=f_i(x)；（2）对任意的实数x，有f(x)=f₁(x)+f₂(x)cosx+f₃(x)sinx+f₄(x)sin2x。

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

证明略

记

，

，则f(x)=g(x)+h(x)，且g(x)是偶函数，h(x)是奇函数，对任意的x∈R，g(x+2π)=g(x)，h(x+2π)=h(x)。令

，

，

，

，其中k为任意整数。
容易验证fi(x)，i=1，2，3，4是偶函数，且对任意的x∈R，fi(x+π)=fi(x)，i=1，2，3，4。下证对任意的x∈R，有f1(x)+f2(x)cosx=g(x)。当

时，显然成立；当

时，因为

，而

，故对任意的x∈R，f1(x)+f2(x)cosx=g(x)。
下证对任意的x∈R，有f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x)。当

时，显然成立；当x=kπ时，h(x)=h(kπ)=h(kπ-2kπ)=h(-kπ)=-h(kπ)，所以h(x)=h(kπ)=0，而此时f3(x)sinx+f4(x)sin2x=0，故h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x；当

时，

，故

，又f4(x)sin2x=0，从而有h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x。
于是，对任意的x∈R，有f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x)。综上所述，结论得证。

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