(本小题满分14分)如图,在三棱锥中,底面,点,分别在棱上,且(1)求证:平面;(2)当为的中点时,求与平面所成的角的正弦值;(3)是否存在点使得二面角为直二面角?并说明理由.-高三数学

题目简介

(本小题满分14分)如图,在三棱锥中,底面,点,分别在棱上,且(1)求证:平面;(2)当为的中点时,求与平面所成的角的正弦值;(3)是否存在点使得二面角为直二面角?并说明理由.-高三数学

题目详情

(本小题满分14分)如图,在三棱锥中,底面
分别在棱上,且  
(1)求证:平面
(2)当的中点时,求与平面所成的角的正弦值;
(3)是否存在点使得二面角为直二面角?并说明理由.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案


(1)略
(2)
(3)存在点E使得二面角是直二面角
解法1:
(1)∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.
,∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面PAC.
(2)∵D为PB的中点,DE//BC,

又由(1)知,BC⊥平面PAC,
∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB,又PA=AB,
∴△ABP为等腰直角三角形,∴
∴在Rt△ABC中,,∴.
∴在Rt△ADE中,
(3)∵AE//BC,又由(1)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,
又∵AE平面PAC,PE平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE,
∴∠AEP为二面角的平面角,
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AC,∴.
∴在棱PC上存在一点E,使得AE⊥PC,这时
故存在点E使得二面角是直二面角.
解法2:如图,以A为原点建立空间直角坐标系
,由已知可得
.
(1)∵
,∴BC⊥AP.
又∵,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面PAC.
(2)∵D为PB的中点,DE//BC,∴E为PC的中点,

∴又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,

.
与平面所成的角的正弦值为.

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