首页 > 已知函数f（x）满足f（1）=a，且f(n+1)=f(n)-1f(n)2f(n)，f(n)≤1，f(n)＞1，若对任意的n∈N*总有f（n+3）=f（n）成立，则a在（0，1]内的可能值有（）A．1个

已知函数f（x）满足f（1）=a，且f(n+1)=f(n)-1f(n)2f(n)，f(n)≤1，f(n)＞1，若对任意的n∈N*总有f（n+3）=f（n）成立，则a在（0，1]内的可能值有（）A．1个

题目简介

已知函数f（x）满足f（1）=a，且f(n+1)=f(n)-1f(n)2f(n)，f(n)≤1，f(n)＞1，若对任意的n∈N*总有f（n+3）=f（n）成立，则a在（0，1]内的可能值有（）A．1个

题目详情

已知函数f（x）满足f（1）=a，且f(n+1)=
f(n)-1
f(n)
2f(n)，f(n)≤1
，f(n)＞1，若对任意的n∈N*总有f（n+3）=f（n）成立，则a在（0，1]内的可能值有 （　　）
A．1个B．2个C．3个D．4个
题型：单选题难度：偏易来源：温州一模

答案

∵0＜a≤1，
∴f（2）=2f（1）=2a，
①当0＜a≤class="stub"1
4
时，0＜2a≤class="stub"1
2
，0＜4a≤1，
∴f（3）=2f（2）=4a，
f（4）=2f（3）=8a，
此时f（4）=f（1）不成立；
②当class="stub"1
4
＜a≤class="stub"1
2
时，class="stub"1
2
＜2a≤1，1＜4a≤2，
∴f（3）=2f（2）=4a，
f（4）=
f(3)-1
f(3)
=class="stub"4a-1
4a
，
此时f（4）=f（1）⇔class="stub"4a-1
4a
=a⇔a=class="stub"1
2
；
③当class="stub"1
2
＜a≤1时，1＜2a≤2，2＜4a≤4，
∴f（3）=
f(2)-1
f(2)
=class="stub"2a-1
2a
≤class="stub"1
2
，
∴f（4）=2f（3）=class="stub"2a-1
a
，
此时f（4）=f（1）⇔class="stub"2a-1
a
=a⇔a=1；
综上所述，当n=1时，有f（n+3）=f（n）成立时，
则a在（0，1]内的可能值有两个． 
故选B．

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